Социально-методический центр поддержки СО НКО Московской области

Представьте, что флетчер (то есть стрелочник) выпустил одну из своих стрел в воздух.Чтобы стрелка считалась движущейся, она должна постоянно перемещаться с того места, где она сейчас находится, в любое место, где в настоящее время ее нет. Однако парадокс Флетчера гласит, что на протяжении всей своей траектории стрела на самом деле вообще не движется. В любой момент, не имеющий реальной продолжительности (другими словами, моментальный снимок во времени) во время полета, стрелка не может переместиться туда, где она не находится, потому что у нее нет времени для этого. И он не может переместиться туда, где он сейчас, потому что он уже там.Итак, в этот момент стрелка должна быть неподвижной. Но поскольку все время целиком состоит из мгновений — в каждом из которых стрелка также должна быть неподвижной, — то стрелка фактически должна быть неподвижной все время. Но, конечно, это не так.

В своей последней письменной работе Рассуждения и математические демонстрации, относящиеся к двум новым наукам (1638) легендарный итальянский эрудит Галилео Галилей предложил математический парадокс, основанный на отношениях между различными наборами чисел.С одной стороны, предположил он, есть квадратные числа, такие как 1, 4, 9, 16, 25, 36 и так далее. С другой стороны, есть числа, состоящие из , а не квадратов, например 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 и так далее. Сложите эти две группы вместе, и, конечно же, чисел в целом должно быть больше, чем , всего квадратных чисел — или, другими словами, общее количество квадратных чисел должно быть меньше, чем общее количество квадратов и неквадратных числа вместе. Однако, поскольку каждое положительное число должно иметь соответствующий квадрат, а каждое квадратное число должно иметь положительное число в качестве квадратного корня, одно не может быть больше другого.

Запутались? Ты не один. В своем обсуждении парадокса Галилею не оставалось ничего другого, как сделать вывод, что числовые концепции, такие как , больше, , , меньше или , меньше , могут применяться только к конечным наборам чисел, а так как существует бесконечное количество чисел. квадратные и неквадратные числа, эти понятия просто не могут использоваться в этом контексте.

Представьте, что у фермера есть мешок, содержащий 100 фунтов картофеля.Он обнаруживает, что картофель на 99% состоит из воды и 1% твердых веществ, поэтому он оставляет его на солнце на день, чтобы количество воды в нем снизилось до 98%. Но когда он возвращается к ним на следующий день, он обнаруживает, что его 100-фунтовый мешок теперь весит всего 50 фунтов. Как это может быть правдой? Что ж, если 99% 100 фунтов картофеля — это вода, то вода должна весить 99 фунтов. 1% твердых веществ должен в конечном итоге весить всего 1 фунт, что дает соотношение твердых веществ и жидкостей 1:99. Но если картофелю дать возможность обезвожиться до 98% воды, твердые вещества теперь должны составлять 2% от веса — соотношение 2:98 или 1:49 — даже при том, что твердые вещества все еще должны весить всего 1 фунт.Вода, в конечном счете, теперь должна весить 49 фунтов, что дает общий вес 50 фунтов, несмотря на снижение содержания воды всего на 1%. Или надо?

Хотя парадоксальный парадокс картофеля и не является истинным парадоксом в строгом смысле слова, он является известным примером того, что известно как достоверный парадокс, в котором основная теория доводится до логического, но очевидно абсурдного заключения.

Парадокс Ворона, также известный как парадокс Гемпеля, по мнению немецкого логика, предложившего его в середине 1940-х годов, начинается с очевидного прямого и полностью верного утверждения о том, что «все вороны черные.Этому соответствует «логически противоположное» (т. Е. Отрицательное и противоречивое) утверждение о том, что «все, что является , а не черным, является , а не вороном», что, несмотря на то, что кажется совершенно ненужным замечанием, также верно, учитывая что мы знаем, что «все вороны черные». Хемпель утверждает, что всякий раз, когда мы видим черного ворона, это свидетельствует в пользу первого утверждения. Но, в более широком смысле, всякий раз, когда мы видим что-то, что является , а не черным, например яблоко, это тоже следует рассматривать как доказательство, подтверждающее второе утверждение — в конце концов, яблоко не черное и не ворон.

Парадокс здесь в том, что Хемпель явно доказал, что вид яблока дает нам свидетельство, каким бы несвязанным оно ни казалось, что вороны черные. Это то же самое, что сказать, что вы живете в Нью-Йорке, — это свидетельство того, что вы не живете в Лос-Анджелесе, или то, что вам 30 лет, — это свидетельство того, что вам не 29. В любом случае, сколько информации может подразумевать одно утверждение?

логических парадоксов | Интернет-энциклопедия философии

Парадокс — это обычно загадочный вывод, к которому нас, кажется, приводят наши рассуждения, но который, тем не менее, очень противоречит здравому смыслу.Среди них есть множество парадоксов логического характера, которые дразнили даже профессиональных логиков, в некоторых случаях на протяжении нескольких тысячелетий. Но то, что сейчас иногда выделяют как «логические парадоксы», представляет собой гораздо менее разнородную совокупность: это группа антиномий, сосредоточенных на понятии самоотнесения , некоторые из которых были известны в классические времена, но большинство из них стали особенно заметно в первые десятилетия прошлого века. Куайн выделял среди парадоксов такие антиномии.Он сделал это, сначала выделив «правдоподобные» и «фальсифицированные» парадоксы, которые, хотя и были загадочными загадками, после некоторой проверки оказались либо либо истинными, либо ложными. Вдобавок, однако, были парадоксы, которые «порождают внутреннее противоречие общепринятыми способами рассуждения» и которые, как думал Куайн, установили, «что некий неявный и надежный образец рассуждения должен быть явным и, следовательно, его следует избегать или пересматривать. ” Сначала мы рассмотрим, более широко и с исторической точки зрения, несколько основных загадок логического характера, которые оказались трудными, некоторые со времен античности, прежде чем позже сконцентрируемся на более недавних проблемах с парадоксами самоотнесения.Все они будут называться «логическими парадоксами».

Содержание

1. Классические логические парадоксы
2. Переход к современности
3. Некоторые недавние логические парадоксы
4. Парадоксы саморекламы
5. Современный поворот
6. Ссылки и дополнительная литература

1. Классические логические парадоксы

Четыре главных парадокса, приписываемых Евбулиду, жившему в четвертом веке до нашей эры, — это «Лжец», «Человек в капюшоне», «Куча» и «Рогатый человек» (сравните Kneale and Kneale 1962, p114).

«Рогатый мужчина» — это версия «Когда ты перестал бить свою жену?» головоломка. Это непростой вопрос, и на него требуется тщательно сформулированный ответ, чтобы избежать неизбежного возвращения к «Я не слышал». Как можно понять это отрицание, когда говорят, что вы продолжаете бить свою жену, или что когда-то вы это делали, но больше не делаете, или что вы никогда не били и никогда не будете? Вопрос в том, что в данном случае означает «не» или отрицание. Если «прекратил бить» означает «бить раньше, но больше не бить», то «бить не прекратил» охватывает как «бить ранее не били», так и «бить продолжает».И в таком случае «нет» — вполне правильный ответ на вопрос, действительно ли ты не бил свою жену. Тем не менее, вашей аудитории, возможно, все равно придется медленно проходить через альтернативы, прежде чем они это ясно увидят. То же самое и с Рогатым мужчиной, который возникает, если кто-то хочет сказать, например, «то, что вы не потеряли, у вас все еще есть». В этом случае им, возможно, придется принять нежелательный вывод «У меня все еще есть рога», если они признают «Я не потерял ни одного рога». Здесь, если «потерянный» означает «имел, но до сих пор нет», тогда «не потерян» будет охватывать альтернативу «изначально не было», а также «все еще есть» — и в этом случае то, что у вас нет. потерянный вам не обязательно еще есть.

Куча в настоящее время обычно называется парадоксом Сорита и касается возможности того, что граница между предикатом и его отрицанием не нуждается в точной прорисовке. Мы все скажем, что человек без волос на голове был лысым, а человек с, скажем, 10 000 волос на голове был волосатым, то есть не лысым, но как насчет человека с только 1 000 волос на голове? которые, скажем, распределены равномерно? Не совсем ясно, что мы должны сказать, хотя, возможно, некоторые все же захотят сказать положительно «лысый», а другие — «не лысый».Научный подход к этой проблеме в последние годы был очень обширным, и «ленивое решение» ни в коем случае не было единственным предпочтительным вариантом. Ленивое решение гласит, что любая неуверенность в том, что сказать, является просто вопросом того, что мы еще не решили или даже не приняли решение о «уточнении» концепции облысения. Есть возражения против этого «эпистемического» подхода к делу, некоторые из которых предпочли бы думать, например (см., Например, Sainsbury 1995), что в облысении было что-то по существу «нечеткое», так что это «расплывчатый предикат». «По природе вещей, а не просто из-за недостатка усилий или необходимости.(О последних работах в этой области см., Например, Williamson 1994 и Keefe 2001).

«Человек в капюшоне» связан с концепцией знания, и в других версиях он снова стал предметом многочисленных исследований в последние годы, как мы увидим далее. В первоначальной версии проблема такова: может быть, вы готовы сказать, что знаете своего брата, но наверняка может войти кто-то, который на самом деле был вашим братом, но с покрытой головой, чтобы вы не знали, кто это был . Один из аспектов этого парадокса состоит в том, что глагол «знать» неоднозначен и фактически переводится двумя отдельными терминами на несколько других языков, кроме английского — например, во французском есть «connâitre» и «savoir».Другими словами, это чувство «быть знакомым» и чувство «знать факт о чем-то». Возможно, эти два чувства взаимосвязаны, но различение их дает один выход из Человека в капюшоне. Ибо мы можем отличить знакомство с вашим братом от знания того, что кто-то является вашим братом. Хотя вы этого не знаете, вы наверняка знакомы с этим человеком в капюшоне, поскольку он ваш брат, и вы знакомы со своим братом. Но это не означает, что вы знаете, что человек в капюшоне — ваш брат, на самом деле, очевидно, что вы этого не знаете.В этом случае мы могли бы также сказать, что вы не узнали своего брата, поскольку понятие узнавания близко к понятию знания. И это указывает на другой аспект проблемы и другой способ разрешить парадокс — вдобавок показывая, что не обязательно должно быть только одно решение или выход. Таким образом, вы вполне можете узнать своего брата, но для этого не обязательно, чтобы вы всегда это делали, это просто означает, что вы можете добиться большего успеха, чем те люди, которые не могут этого сделать. Если мы перефразируем этот случай: «вы можете узнать своего брата, но вы не узнали его, когда он был покрыт головой», то в действительности парадокса нет.

Последним из упомянутых выше парадоксов Евбулида был «Лжец», который, возможно, является самым известным парадоксом в семье «самоотнесения». Основная идея имела несколько вариаций еще в древности. Был, например, «Крит», где критянин Эпименид говорит, что все критяне лжецы, и «Крокодил», где крокодил украл чей-то ребенок, и говорит ему: «Я верну ее тебе, если ты правильно угадаешь, верно ли. Сделаю или нет », на что отец говорит:« Ты не вернешь моего ребенка »! На самом деле, как мы увидим, в «Лжеце» было создано множество усложнений, особенно в прошлом веке.В «Критском» нет настоящей антиномии — может быть просто неверно, что все критяне лжецы; но если кто-то просто говорит: «Я лгу», ситуация иная. Ибо, если это правда, что он лжет, то, по-видимому, то, что он говорит, ложно; но если то, что он лжет, ложно, то то, что он говорит, может показаться правдой. Педант может сказать, что «ложь» — это строго не неправда, а просто то, что человек считает неправдой. В этом случае нет такой же трудности с тем, чтобы замечание человека было правдой: возможно, он действительно лжет, хотя и не верит в это.Педант, однако, упускает из виду то, что его словесную тонкость можно обойти, а парадокс реконструировать в другой, даже во многих других формах. Позже мы рассмотрим парадокс более подробно в некоторых его более сложных версиях.

Однако, прежде чем оставить древних, мы можем взглянуть на парадоксы Зенона, которые не только имеют логический интерес сами по себе, но также имеют очень близкое отношение к некоторым парадоксам, появившимся позже, связанным с бесконечностью и бесконечно малыми величинами.Парадоксы Зенона в первую очередь касаются возможности движения, но в более общем плане они касаются возможности определения единиц или атомных частей, из которых можно считать либо пространство, либо время, либо вообще любой континуум.

Ведь, как утверждал Зенон (см., Например, Owen 1957 и Salmon 1970), если бы такие единицы были, то они либо имели бы размер, либо не имели бы размера. Но если бы у них был размер, у нас был бы парадокс Стадиона, а если бы у них не было размера, у нас был бы парадокс Стрелы.Таким образом, если бегуны A и B приближаются друг к другу с единичной скоростью, то, предположив, что единицы имеют конечный размер, через одну единицу времени каждый из них переместится на одну единицу пространства относительно стадиона. Но они переместят две пространственные единицы относительно друг друга, что означает, что между ними была единица времени, когда они были всего на одну пространственную единицу друг от друга. Значит, единица времени в конце концов должна делиться. С другой стороны, если единицы деления не имеют размера, тогда в любой момент времени стрела в полете должна занимать пространство, равное самой себе, потому что за это время она не может двигаться.Но если это так, то он неподвижен, и стрелка никогда не движется.

Это, казалось бы, означает, что пространство и время разделены без ограничений. Но Зенон утверждал, что если бы пространство и время были безгранично разделены сами по себе, то мы получили бы парадокс Ахилла и Черепахи. Бегун, прежде чем он дойдет до конца своего забега, должен будет добраться до промежуточной точки, а затем и до промежуточной точки за ней, то есть до трех четвертей пути и так далее. Не было бы предела последовательности точек, до которых ему нужно было добраться, и поэтому всегда было бы еще немного, и он никогда не смог бы добраться до конца.Точно так же и в соревновательной гонке, даже, скажем, между суперскоростным Ахиллесом и черепахой: Ахиллес не сможет догнать черепаху, пока черепаха будет стартовать. Ведь Ахилл должен сначала добраться до исходного положения черепахи, но к тому времени черепаха будет, пусть и частично, дальше. Теперь Ахилл должен всегда достигать прежнего положения черепахи, прежде чем догнать ее. Следовательно, он никогда не догоняет это.

У Аристотеля был способ разрешить парадоксы Зенона, который до недавнего времени убеждал большинство людей.Разрешение парадоксов Зенона Аристотелем включало различие между пространством и временем, которые сами по себе разделены на части без ограничений, и просто делятся (например, нами самими) без ограничений. Аристотель считал, что никакая непрерывная величина на самом деле не состоит из частей, поскольку, хотя она может делиться на части без ограничений, континуум дается до любого такого результирующего деления на части. В частности, Аристотель отрицал, что могут быть какие-либо нескончаемые части, и поэтому его часто называют «финитистом»: нескончаемые «части» не могут быть частями пространства или времени, думал он, поскольку никакая величина не может быть составлена ​​из того, что не имеет расширения.Позже эта точка зрения подверглась сомнению, поскольку она означает, что стрела может находиться «в покое» только в том случае, если она находится в одном и том же месте в два разных момента времени — для Аристотеля и покой, и движение могут быть определены только в течение конечного приращения времени. Но позже было принято понятие мгновенной скорости, в том числе и в случае, когда скорость равна нулю.

Загадка о не конечных частях может напоминать один из вопросов, которыми занимались многие схоластические богословы в средние века: сколько ангелов может сидеть на булавке? И, возможно, не случайно, что теоретик, давший полученный в настоящее время ответ на общий вопрос о том, сколько вещей без какого-либо расширения составляют единое целое, имеющее такое расширение, был горячо верующим в Бога.Конечно, финитизм Аристотеля оставался в целом убедительным только в конце девятнадцатого века, когда рассматриваемый теоретик Кантор определил количество нескончаемых точек в континууме к удовлетворению большинства ученых людей.

2. Переход к современности

Между классическими временами Аристотеля и концом девятнадцатого века, когда работал Кантор, был период в средние века, когда парадоксы логического типа интенсивно рассматривались. Это было в четырнадцатом веке.Известными людьми были Павел Венецианский, живший в конце того века, и Джон Буридан, родившийся незадолго до него. Каждый из этих авторов, несомненно, будет служить образцом осторожности и ясности, необходимых для того, чтобы избавиться от вышеупомянутых трудностей, связанных с проблемными предложениями. В качестве иллюстрации Буридан обсуждает «Никакие изменения не происходят мгновенно» следующим образом (Скотт 1966, стр. 178):

Я доказываю это, потому что каждое изменение происходит либо в неделимый момент, либо в делимое время.Но ничто не существует в неделимом мгновении, поскольку неделимое мгновение не может быть дано во времени, как всегда предполагается. Следовательно, каждое изменение происходит в делимом времени, и каждое такое изменение следует называть временным, а не мгновенным.

Утверждается обратное, потому что, по крайней мере, создание нашей интеллектуальной души происходит мгновенно. Поскольку он неделим, он должен быть сделан сразу целиком, а не одну часть за другой. И такое творение мы называем мгновенным. Следовательно.

Буридан также обсуждает «Вы знаете приближающегося», что напоминает «Человека в капюшоне» Евбулида (Скотт, 1966, стр. 178):

Я утверждаю, что вы видите своего отца, идущего издалека, таким образом, что вы не различаете, ваш ли это отец или кто-то другой.Тогда это доказано, потому что вы действительно знаете своего отца, и он приближается; следовательно, вы знаете приближающегося. Точно так же вы знаете того, кто известен вам, но приближающийся известен вам; следовательно, вы знаете приближающегося. Я доказываю, что несовершеннолетний, потому что твой отец известен тебе, и твой отец приближается; следовательно, приближающийся известен вам.

Утверждается обратное, потому что вы не знаете его, и если вас спросят, кто он, вы ответите правдиво: «Я не знаю.Но о приближающемся скажи следующее; отсюда и т. д.

Эти два случая являются «софизмами» в книге Буридана о таковых, Sophismata, и среди них, в главе 8, находятся «неразрешимые», которые предполагают некоторую форму самоотнесения. Вообще говоря, Буридан проводил различие, подобное упомянутому ранее, между общими парадоксами логической природы и «логическими парадоксами». Так, в своей главе 8 Буридан обсуждает парадокс лжецов Евбулида в нескольких формах, например, как он возникает со словами «Каждое предложение ложно» в следующих обстоятельствах (Scott 1966, p191): «Я утверждаю, что все истинные утверждения должны быть уничтожены. и остаются ложные.И тогда Сократ произносит только это предложение: «Всякое предложение ложно».

Расширенное обсуждение таких случаев может показаться несколько академическим, но между периодом Буридана и более поздними временами одна заметная фигура начала выявлять нечто более важное, чем эти вопросы. Действительно, в общем, софизмы о природе изменения и непрерывности, о знании и его объектах, а также о понятии самоотнесения, среди многих других, привлекли большое профессиональное внимание, как только их значимость была осознана. , при этом методы анализа, взятые из разработок формальной логики и лингвистических исследований, добавляются к тщательному и ясному выражению, и способы аргументации, найденные у лучших писателей ранее.Темпы изменений начали ускоряться в конце девятнадцатого века, но один из более ранних мыслителей, который также будет упомянут здесь, — это епископ Беркли, действовавший в начале восемнадцатого века. Историю этого периода в связи с вопросами, которые касались Беркли, см., Например, в Grattan-Guinness 1980. Беркли спорил с Ньютоном об основах исчисления; он, среди прочего, скептически относился к возможности мгновенных скоростей.

Напомним, что при вычислении производной учитывается следующая дробь:

f (x + δx) — f (x) / δx,

, где δx — очень малая величина.В простейшем случае, когда f (x) = x ² , например, мы получаем

(x + δx) ² — x ² / δx,

, и сначала вычисляется

2xδx + δx ² / δx,

, а затем равным 2x + δx, причем δx впоследствии устанавливается на ноль, чтобы получить точную производную 2x. Беркли возражал, что только если δx было , а не , ноль можно было сначала разделить на него, и поэтому один не был в положении, с результат этой операции, чтобы затем взять δx равным нулю.Если принять δx равным нулю, расчет Ньютона, казалось, потребовал невозможного понятия мгновенной скорости, которое, конечно, Аристотель отрицал в связи с его анализом парадоксов Зенона. Связь между производной и движением, инициированная использованием Ньютоном термина «флюксия», была в значительной степени ограничена Англией, а на континенте одновременное развитие теории Лейбница имело большее значение. никогда не равнялся нулю, а просто оставался все еще конечным «бесконечно малым».”

Один из способов выразить финитизм Аристотеля — сказать, что он верил, что бесконечности, такие как возможные последовательные деления линии, были только «потенциальными», а не «действительными» — фактическое бесконечное деление в конечном итоге привело бы к неэкстенсиональному и так что не конечные точки. У Лейбница, однако, не было проблем с понятием фактического бесконечного деления линии — или с идеей, что результатом может быть конечная величина. Однако, хотя Лейбниц ввел конечные бесконечно малые величины вместо флюксий, эта идея также была подвергнута сомнению как недостаточно строгая, и обе идеи потеряли почву для определения производных в терминах пределов Коши и Вейерштрасса в девятнадцатом веке.Понятие Лейбница конечных бесконечно малых с тех пор было дано более строгим определением Абрахамом Робинсоном и другими сторонниками «нестандартного анализа», но Кантор работал с теорией действительных чисел прошлого века. , прежде чем он пришел к формулированию своей теории бесконечных чисел . Лейбниц не счел бы разумным спрашивать, сколько из его бесконечно малых величин составляют линию, но Кантор дал гораздо более точный ответ: «бесконечно много».”

Необходимо получить некоторое представление о теории действительных чисел, прежде чем мы сможем понять следующие логические парадоксы, возникшие в этой традиции: парадокс Рассела, парадокс Бурали-Форти, парадокс Кантора и парадокс Сколема. Мы рассмотрим их в следующем разделе, который затем познакомит нас с разработками двадцатого века в области самоотнесения. Но прежде всего следует упомянуть, как недавние обсуждения знания и его объектов, например, стали очень профессиональными, поскольку развернутое обсуждение вопросов, связанных с «Человеком в капюшоне» Эвбулида, было столь же доминирующим в этот период.

Напомним, что эти вопросы были сосредоточены на проблеме непризнания, и с конца девятнадцатого века, по-разному, двум центральным случаям этой проблемы уделялось пристальное внимание. Также было продолжено множество других соответствующих дискуссий, но эти два случая, возможно, являются наиболее важными с исторической точки зрения (см., Например, Linsky 1967). Прежде всего следует упомянуть об интересе Фреге к трудностям сделать вывод, что кто-то верит во что-то о Вечерней звезде, если они верят в то, что касается Утренней звезды.На самом деле, как мы теперь понимаем, Утренняя звезда — это то же самое, что и Вечерняя звезда, но это не всегда распознавалось, и действительно теперь стало понятно, что даже термин «звезда» является неправильным, поскольку оба объекта являются планетой Венера. Тем не менее, можно подумать, что кто-то, не знающий астрономической идентичности, мог бы принять «Вечерняя звезда в небе», но отвергнуть «Утренняя звезда в небе». Куайн привел еще один широко обсуждаемый случай подобного рода, касающийся Бернарда Дж. Орткатта, респектабельного человека с седыми волосами, которого однажды видели на пляже.В одном месте его считали не шпионом, в другом -, можно сказать, шпионом; но разве так следует описывать ситуацию? Может быть, тот, кто не узнает его, может иметь представления о человеке на пляже, не имея при этом этих представлений о респектабельном человеке с седыми волосами или даже о Бернарде Дж. Орткатте. Конечно, так считал Куайн, что не только само по себе вызвало крупномасштабные споры; это также привело или было частью более широких дискуссий об идентичности в подобных, но неличностных интенсиональных понятиях, таких как модальность.Таким образом, как указал Куайн, казалось бы, необязательно, чтобы число планет было больше 4, хотя необходимо, чтобы 9 было больше 4, а 9 — это число планет. Раздел формальной логики, Интенсиональная логика, был разработан для более точного анализа подобных проблем.

3. Некоторые недавние логические парадоксы

Это были разработки в других областях математики, которые были неотъемлемой частью открытия следующих логических парадоксов, которые необходимо было рассмотреть.Это были разработки в теории действительных чисел, как упоминалось ранее, а также в теории множеств и арифметике. В настоящее время считается, что арифметика имеет дело с «счетным» числом объектов — натуральными числами — в то время как действительные числа «несчетные». Теперь можно подумать, что множества бесконечных размеров могут быть сформированы, что является основой, на которой Кантор должен был дать свой точный ответ «два алефу ноль» на вопрос о том, сколько точек находится на прямой.

Традиция до середины девятнадцатого века не рассматривала эти вопросы таким образом.Ведь натуральные числа возникают в связи со счетом, например, счетом коров в поле. Если в поле несколько коров, значит, их будет набор: наборы — это совокупности таких особей. Но с говядиной в поле мы обычно не говорим такими терминами: «говядина» — это неисчисляемое существительное, а не счетное существительное, и поэтому оно не выделяет вещи, а просто называет некоторые вещи, и, как следствие, число может быть ассоциированным с говядиной в поле только с некоторой произвольной единицей, такой как фунт или килограмм.Когда есть только некоторая F, тогда нет числа F, хотя может быть некоторое количество, скажем, частей F. То же самое и с континуумами, такими как пространство и время, которые мы можем разделить на ярды или секунды. , или даже любая конечная величина, и это, возможно, главный факт, который поддерживает точку зрения Аристотеля о том, что любое разделение такого континуума является просто потенциальным, а не действительным, и неизбежно конечным как в используемой единице, так и в количестве их в целом.

Но континуумы, начиная с Кантора и далее, рассматривались как состоящие из нескончаемых индивидов.И не только это изменение. Ибо также количество особей в некотором наборе индивидуумов — будь то коровы или нефинитные элементы в говядине — было сочтено, возможно, не конечным, и тогда целое, содержащее этих индивидуумов, все еще оставалось доступным: бесконечное множество из них . Теперь у нас обычно есть идея, что могут быть бесконечные множества сначала конечных сущностей, которые затем будут «счетными» или «счетными», но также будут существовать множества нескончаемых, бесконечно малых сущностей, которые будут «несчетными», или «неисчислимые.”

Важно понимать, какое влияние эти новые идеи оказали на поколение математиков и логиков конца девятнадцатого века, поскольку в результате такого рода изменений стало казаться, что все в математике можно объяснить в терминах. наборов: Теория множеств выглядела так, как будто она станет всей основой математики. Только оценив это ожидание, которое всегда было у авангарда теоретиков, можно осознать очень серьезный толчок для этого общества, который произошел с открытием Парадокса Рассела и нескольких других, примерно в то же время, на рубеже веков. .Ибо парадокс Рассела показал, что не все может быть набором.

Если мы напишем «x is F» как «Fx» — что стало обычным явлением в тот же период — тогда набор F будет записан как

{x | Fx},

и сказать, что a — это F, то есть Fa, тогда, казалось бы, означало бы сказать, что a принадлежит этому набору, то есть

a ∈ {x | Fx},

, где символ «∈» означает «является членом».

Поэтому кажется правдоподобным сформулировать это как общий принцип,

для всех y: y ∈ {x | Fx} тогда и только тогда, когда Fy,

, который символизируется в современной логике,

(y) (y ∈ {x | Fx} тогда и только тогда, когда Fy).

Но если результат верен для всех предикатов «F», то мы могли бы сказать, что для любого «F»

существует z такое, что: (y) (y ∈ z тогда и только тогда, когда Fy),

, который сейчас оформлен

(∃> z) (y) (y ∈ z тогда и только тогда, когда Fy).

В основах арифметики, которые Фреге описал в своих основных логических работах Begriffsschrift, и Grundgesetze , этот принцип является главной аксиомой (Kneale and Kneale 1962, Ch 8), но Рассел обнаружил, что это было логически невозможно, поскольку если бы принимает за «Fy» конкретный предикат «y не принадлежит y», то есть «¬ y ∈ y», тогда требуется

(∃> z) (y) (y ∈ z, если ¬ y ∈ y),

, откуда, учитывая указанные выше значения «(∃> z)» и «(y)», мы получаем противоречие.

z ∈ z тогда и только тогда, когда ¬ z ∈ z,

, то есть z, является членом самого себя тогда и только тогда, когда он не является членом самого себя.В результате этого парадокса, который обнаружил Рассел, теория множеств была значительно изменена, и на аксиому Фреге были наложены ограничения, так что, например, она либо определяла просто подмножества известных множеств (теория Цермело), ​​либо позволяла различать множества из других сущностей — обычно называемые «собственными классами» (теория фон Неймана). В последнем случае те вещи, которые не являются членами сами по себе, образуют надлежащий класс, но не набор, и соответствующие классы не могут быть членами чего-либо.

Но были и другие причины, по которым после открытия парадоксов Бурали-Форти и Кантора стало понятно, что множества не всегда могут быть сформированы.Парадокс Бурали-Форти касается определенных множеств, называемых «ординалами», из-за их связи с ординалами обычного языка, то есть «первым», «вторым», «третьим» и т. Д. Множества, которые являются ординалами, упорядочены так, что каждый один является членом всех следующих, и поэтому, без ограничений для наборов, которые могут быть сформированы, казалось возможным доказать, что любая последовательность таких ординалов сама будет членами следующего ординала, который должен быть отличается от каждого из них.Проблема возникла при рассмотрении совокупности всех ординалов, поскольку это означало бы, что должен существовать другой отдельный ординал, не входящий в эту совокупность, и, тем не менее, предполагалось, что это будет совокупность всех ординалов. Очень похожее противоречие возникает в парадоксе Кантора.

Действительно, для конечных множеств конечных объектов легко доказать теорему Кантора, а именно, что количество членов множества строго меньше количества его подмножеств. Если один формирует набор подмножеств данного набора, тогда он производит «набор мощности» исходного набора, поэтому другой способ сформулировать теорему Кантора — сказать, что количество членов набора строго меньше, чем количество члены его власти.Кантор распространил эту теорему и на свои бесконечные множества — хотя он понимал, что существует по крайней мере один такой набор, к которому оно, очевидно, неприменимо, а именно множество всего, иногда называемое универсальным множеством. Очевидно, что набор его подмножеств не может иметь большего числа, чем количество вещей в самом универсальном наборе, поскольку он содержит все. Это был парадокс Кантора, и его решение заключалось в том, чтобы сказать, что такая бесконечность «непоследовательна», поскольку ее нельзя последовательно пронумеровать.Он считал, однако, что только размер бесконечных множеств должен быть ограничен, предполагая, что меньшие бесконечности могут быть последовательно пронумерованы, и назначая, для начала, «алеф ноль» как число, или, точнее говоря, «силу» натуральные числа (Hallett 1984, p.175). Фактически, более ранний парадокс, связанный с натуральными числами, предполагал, что даже их нельзя последовательно пронумеровать: с одной стороны, их можно поставить в соотношении 1 к 1 с четными числами, и тем не менее их определенно было больше, поскольку они включены и нечетные числа.Этого парадокса Кантор решил избежать с помощью своего определения мощности множества (NB, а не набора степеней множества): его определение просто требовало, чтобы два множества были помещены в корреляцию 1 к 1, чтобы они имели одинаковую мощность. . Таким образом, все бесконечные последовательности натуральных чисел имеют одинаковую степень, равную нулю.

Но количество точек в строке было не равным нулю алеф, а двум точкам нуля, и Кантор представил несколько доказательств того, что это не одно и то же. Самым известным был его диагональный аргумент, который, кажется, показывает, что должны существовать порядки бесконечности, и в частности, что несчетное бесконечное отличается от счетного бесконечного.Ведь вера в действительные числа равносильна вере в определенные бесконечные множества: действительные числа обычно понимаются просто в терминах, возможно, неограниченных десятичных знаков, но это определение может быть получено из более теоретических (Suppes 1972, стр. 189). Но можно ли перечислить десятичные дроби, скажем, между 0 и 1? Перечисление их сделало бы их счетными в том особом смысле, который был принят, который, помимо прочего, не требует наличия последнего подсчитываемого элемента. Натуральные числа в этом смысле, как и раньше, счетны, и любой список, кажется, может быть проиндексирован порядковыми числами.Предположим, однако, что у нас есть список, в котором n-й член имеет следующую форму:

a _n = 0.a _n1 a _n2 a _n3 a _n4 …,

, где _ni — это цифра от 0 до 9 включительно. Тогда этот список не будет содержать «диагональный» десятичный разделитель a _m , определенный как

a _mn = 9 — a _nn ,

, поскольку для n = m это уравнение неверно, если используются только целые цифры.Это, по-видимому, показывает, что совокупность десятичных знаков в любом непрерывном интервале не может быть перечислена, что означает, что существует по крайней мере два отдельных порядка бесконечности.

Конечно, если бы не было бесконечных множеств, не было бы бесконечных чисел, счетных или несчетных, и поэтому аристотелевцы не приняли бы результат этого доказательства как факт. Дискретные вещи могут быть для него в лучшем случае потенциально счетными. Но трудность с результатом распространяется даже на тех, кто принимает, что есть бесконечные множества, из-за другого парадокса, парадокса Сколема, который показывает, что все теории определенного вида должны иметь счетную модель, то есть должно быть истинным в некоторой счетной области. объектов.Но теория множеств — одна из таких теорий, и в ней, предположительно, должны быть несчетные множества. Фактически, счетная модель для теории множеств была недавно определена Лавином (Lavine 1994), так как же можно приспособить диагональное доказательство Кантора? Обычно это согласуется с тем, что в рамках счетной модели теории множеств несчетность представлена ​​просто отсутствием функции, которая может выполнять индексацию множества, то есть производить корреляцию между множеством и порядковыми числами.Но если это так, то, возможно, сложность перечисления действительных чисел в интервале сопоставима. Конечно, при наличии списка действительных чисел с функциональным способом их индексации диагонализация позволяет нам построить другое действительное число. Но, возможно, все еще может существовать счетное число всех действительных чисел в интервале без какой-либо возможности найти функцию, которая перечисляет их, и в этом случае у нас не будет диагональных средств для получения другого. Похоже, нам нужно еще одно доказательство того, что быть счетным по размеру означает быть включенным в список с помощью функции.

4. Парадоксы самооценки

Возможность того, что диагональная процедура Кантора является парадоксом сама по себе, обычно не рассматривается, хотя ее прямое применение приводит к признанному парадоксу: парадоксу Ричарда. Рассмотрим для начала все конечные последовательности из двадцати шести букв английского алфавита, десяти цифр, запятой, точки, тире и пробела. Упорядочите эти выражения сначала по количеству символов, а затем лексикографически в каждом таком наборе.Затем у нас есть способ идентифицировать n-й член этой коллекции. Некоторые из этих выражений являются английскими фразами, а некоторые из этих фраз будут определять действительные числа. Пусть E будет подгруппой, которая делает это, и предположим, что мы снова можем идентифицировать n-е место в этом для каждого натурального числа n. Тогда следующая фраза, как указал Ричард, по-видимому, определяет действительное число, которое не определено в коллекции: «Действительное число, вся часть которого равна нулю, а n-й десятичный знак равен p плюс 1, если n- -я десятичная дробь действительного числа, определяемого n-м членом E, равна p, а p не равна ни 8, ни 9, и является просто единицей, если эта n-ая десятичная дробь равна восьми или девяти.Но это выражение представляет собой конечную последовательность описанного выше вида.

Одним из важных фактов этого парадокса является то, что это семантический парадокс, поскольку он касается не только упорядоченного набора выражений (который является синтаксическим вопросом), но и их значения, то есть того, относятся ли они к действительным числам. Именно из-за этого, возможно, неясно, существует ли конкретный список выражений требуемого типа, поскольку, хотя полный список выражений, безусловно, можно упорядочить напрямую, то, определяет ли какое-либо выражение действительное число, возможно, не такой четкий вопрос.В самом деле, можно сделать вывод, только из того факта, что возникает парадокс, как указано выше, что вопрос о том, определяет ли какая-либо английская фраза действительное число, не всегда полностью разрешимо. С точки зрения Бореля, это невозможно решить эффективно (Martin-Löf 1970, p44). Другой очень похожий семантический парадокс с тем же аспектом — парадокс Берри, о «наименьшем целом числе, имя которого не может быть меньше девятнадцати слогов». Проблема здесь в том, что в этой самой фразе меньше девятнадцати слогов, и тем не менее, если она обозначает целое число, это целое число не должно иметь наименования менее девятнадцати слогов.Итак, существует ли определенный набор английских выражений, которые обозначают целые числа, имена которых не могут состоять менее чем из девятнадцати слогов?

Если бы имела место какая-то нечеткость, то между такими парадоксами и предыдущими парадоксами логической теории, такими как, например, Рассела, Бурали-Форти и Кантора, была бы значительная разница. Действительно, после обсуждения этих вопросов Рамси в 1920-х годах стало обычным делом разделить основные логические парадоксы на два: семантический или лингвистический, с одной стороны, и синтаксический или математический, с другой.Маки был в некоторой степени не согласен с Рэмси, хотя был готов сказать (Mackie 1973, p. 262):

Таким образом, семантические парадоксы… могут быть разрешены в философском смысле путем демонстрации отсутствия содержания ключевых элементов, того факта, что различные вопросы и предложения, истолкованные заданным образом, не вызывают существенных проблем. Но это комментарии, относящиеся только к лингвистическим предметам; можно было бы ожидать, что этот метод будет применяться только к семантическим парадоксам, а не к «синтаксическим» парадоксам, таким как парадокс классов Рассела, которые, как считается, включают только (формальные) логические и математические элементы.

Сам Рассел выступил против этого различия, сформулировав свой знаменитый «Принцип порочного круга», который, как он считал, нарушает все парадоксы самоотнесения. В частности, он считал, что утверждения обо всех членах определенных коллекций были бессмыслицей (сравните Haack 1978, p141):

Все, что включает в себя всю коллекцию, не должно быть частью коллекции, или, наоборот, если при условии, что определенная коллекция имеет сумму, в ней будут члены, определяемые только в терминах этой суммы, то указанная коллекция не имеет общей суммы.

Но это, по-видимому, исключало бы определение, например, человека как человека с наивысшим средним показателем в его команде, поскольку в этом случае он определяется в терминах общего числа, членом которого он является. Он фактически налагает запрет на все формы самоотнесения, и поэтому единообразное решение Рассела парадоксов обычно считается слишком радикальным. Кто-то может сказать: «Это может быть использование пушки против мухи, но, по крайней мере, она останавливает муху!»; но он также опустошает слишком много всего поблизости.

Более поздним теоретиком, выступающим против разграничения Рамси, был Прист. Фактически, он пытался доказать, что все основные парадоксы самореференции имеют общую структуру, используя дальнейшее понимание Рассела, которое он называет «Схемой Рассела» (Priest 1994, p27). Это предшествует привязанности Рассела к принципу порочного круга, но Прист показал, что, будучи адаптированным и примененным ко всем основным парадоксам, он соответствует рассуждениям, которые приводят к противоречию в каждом из них.Этот подход, однако, предполагает, что семантические понятия, такие как определимость, обозначение, истина и знание, могут быть истолкованы в терминах математических множеств, что, по-видимому, является тем самым предположением, которое оспаривал Рамси.

Парадокс Греллинга также ставит под сомнение это предположение. Это самореференциальный семантический парадокс, в некоторой степени напоминающий парадокс Рассела, и касается свойства, которым обладает прилагательное, если оно не применимо к самому себе. Таким образом,

«большой» — не большой,
«многосложный» — многосложный,
«английский» — английский,
«французский» — не французский.

Давайте использовать термин «гетерологический» для свойства неприменимости самого себя, поэтому мы можем сказать, что «большой» и «французский», например, гетерологичны, и мы можем написать в качестве общего определения

«x» гетерологичен тогда и только тогда, когда «x» не является x.

Но очевидно, что замена «x» на «гетерологический» приводит к противоречию. Означает ли это противоречие, что нет такого понятия, как гетерологичность, как нет такого множества, как множество Рассела? Гольдштейн недавно утверждал, что это так (Goldstein 2000, p67), следуя традиции, которую Маки называет «подходом логического доказательства» (Mackie 1973, p254f), в который Райл внес заметный вклад (Ryle 1950-1).Эта мысль становится еще более правдоподобной, если учесть очень подробный логический анализ, который предоставил Копи (Copi 1973, p301).

Copi впервые вводит определение

Hs = _df (∃> F) (sDesF & (P) (sDesP iff P = F) & ¬Fs),

, в котором «¬» означает «не», а «Des» относится к отношению между словесным выражением и свойством, которое оно обозначает. Таким образом, «sDesF» читается: s обозначает доказательство противоречия Ф. Копи следующим образом.Во-первых, H ”H” влечет за собой, в свою очередь,

(∃> F) («H» DesF & (P) («H» DesP, если P = F) & ¬F «H») — путем подстановки в определении,

«H» DesF & (P) («H» DesP тогда и только тогда, когда P = F) & ¬F «H» — принимая случай, как утверждается, существующий,

(«H» DesH, если H = F) & ¬F «H» — путем подстановки в «для всех P»,

H = F & ¬F ”H” — предполагая, что “H” обозначает H,

Тогда ¬H ”H” влечет за собой, в свою очередь,

(F) ¬ («H» DesF & (P) («H» DesP, если P = F) & ¬F «H») — поскольку «¬ (∃> F)» эквивалентно «(F) ¬» , ¬ (H »DesH & (P) (« H »DesP, если P = H) & ¬H« H ») — замена« H »на« F »,

¬ ((P) («H» DesP, если P = H) & ¬H «H») — если «H» обозначает H,

H ”H” — предполагая (P) (“H” DesP, если P = H).

Получить противоречие

H ”H” iff ¬H ”H”,

поэтому необходимо быть уверенным, что существует одно и только одно свойство, которое обозначает буква «H». И Копи не приводит доказательств этого.

Парадокс лжецов — это еще один семантический парадокс, основанный на самореференции, возможно, самый главный, пришедший из античности. И можно очень хорошо спросить, относительно

То, что я сейчас говорю, ложно,

, например, имеет ли это какой-то смысл или включает ли это существенную проблему, как сказал бы Маки (см. Также Parsons 1984).Но есть еще один хорошо известный парадокс, который, кажется, блокирует это увольнение. Ибо если мы допустим, что, кроме «истинного» и «ложного», также «бессмысленного», то вполне может показаться, что возникает «Усиленный лжец», который в данном случае может быть выражен

То, что я сейчас говорю, ложно или бессмысленно.

Если я не говорю здесь ничего значимого, то, по-видимому, то, что я говорю, правда, что, кажется, подразумевает, что в конце концов это имеет значение.

Давайте, поэтому, рассмотрим некоторые другие известные способы попытки спастись даже от Неусиленного лжеца.Неусиленный лжец существует во множестве вариаций, например:

Это самое предложение ложное,

или

Некоторые предложения в этой книге неверны,

, если это предложение — единственное предложение в книге, скажите в предисловии. Он также возникает из следующей пары предложений, взятых вместе:

Следующее предложение неверно, Предыдущее предложение верно;

, а в случае Буридана —

То, что говорит Платон, ложно, То, что говорит Сократ, верно,

, если Сократ говорит первое, а Платон — второе.Есть много других вариантов, некоторые из которых мы рассмотрим позже.

Семантические концепции этих парадоксов — истина и ложь, и первый крупный вклад в наше понимание этих парадоксов в двадцатом веке внес Тарский. Тарский считал истину и ложность предикатами предложений и подробно обсуждал следующий пример своей знаменитой «Т-схемы»:

«снег белый» истинно тогда и только тогда, когда снег белый.

Он считал, что

Ts iff p,

имеет место, если «s» — это некоторая фраза, обозначающая или относящаяся к предложению «p» — например, как указано выше, то же самое предложение в кавычках или число в какой-либо системе нумерации, которая была способ, которым Гёдель решал такие вопросы.Анализ истины Тарским включал отрицание возможности «семантического замыкания», то есть наличия в языке семантических концепций, относящихся к выражениям на этом языке (Tarski 1956, p402):

Основной источник встречающихся трудностей, по-видимому, заключается в следующем: не всегда учитывалось, что семантические концепции имеют относительный характер, что они всегда должны быть связаны с определенным языком. Люди не знали, что язык, на котором мы говорим, ни в коем случае не должен совпадать с языком, на котором мы говорим.Они реализовали семантику языка в самом этом языке и, вообще говоря, действовали так, как будто в мире существует только один язык. Анализ упомянутых антиномий, напротив, показывает, что семантическим понятиям просто нет места в языке, к которому они относятся, что язык, который содержит свою собственную семантику и в котором действуют обычные законы логики, неизбежно должен быть непоследовательный.

Этот вывод, который требует, чтобы любой непротиворечивый язык был неполным, Тарский сделал непосредственно, рассматривая «Лжеца», поскольку «Это ложно», по-видимому, обеспечивает самореференциальные «s», для которых

s = «¬Ts»,

, следовательно, подставив в следующем примере Т-схемы

Т ”¬Ц” иф ¬Ц,

получаем

Ц ифф ¬Ц.

Чтобы заблокировать этот вывод, Тарский заявил, что ссылка на себя, по-видимому, доступна в идентификаторе

s = «¬Ts»

просто не всегда был доступен, и в частности, если кто-то использовал предложение «это ложно», то референт «этого» не должен быть самим предложением — под угрозой очевидного противоречия. Использование «это ложно» логично означало говорить об объектном языке, но на другом, более высоком, языке — метаязыке.Конечно, семантические концепции, применимые в этом метаязыке, также не могли быть разумно определены в нем, поэтому в целом предполагалась целая иерархия языков.

Однако кажется трудным применить этот вид расслоения языков к тому, как мы обычно говорим. В самом деле, утверждение, что истина может присоединяться к индексным предложениям, например «То, что я сейчас говорю, является ложью», казалось бы, бросает вызов очень ясной истине (Kneale 1972, p234f). Рассмотрим, кроме того, этот вариант вышеупомянутого случая Платона-Сократа (сравните Haack 1978, p144), где Джонс говорит:

Все высказывания Никсона об Уотергейте ложны,

и Никсон говорит

Все высказывания Джонса об Уотергейте верны.

Если, следуя Тарскому, мы попытаемся назначить уровни языка этой паре высказываний, то как мы могли бы это сделать? Казалось бы, высказывание Джонса должно быть на языке более высоком, в иерархии Тарского, чем любой язык Никсона; тем не менее, напротив, рейтинг Никсона должен быть выше, чем у любого из Джонсов.

Мартин разработал типологию решений «Лжеца», в которой выход Тарского рассматривается как один из четырех возможных общих диагнозов (Мартин 1984, стр. 4). Два принципа, которые использует Мартин для классификации Лжеца, которого мы только что видели, а именно

(S) Есть предложение, которое говорит само за себя только о том, что оно не соответствует действительности,

и

(T) Любое предложение истинно тогда и только тогда, когда оно верно.

Тарский в этих условиях счел утверждение (S) неверным. Но можно также утверждать, что (T) неверно, возможно, потому, что есть предложения без значения истинности, бессмысленные или лишенные содержания каким-либо другим образом, как считают упомянутые ранее теоретики. Третий общий диагноз утверждает, что и (S), и (T) верны и действительно несовместимы, но переходит к некоторой их «рациональной реконструкции», так что несовместимость устраняется. В-четвертых, можно утверждать, что (S) и (T) верны, но действительно совместимы.Мартин считает, что это происходит как результат некоторой возможной двусмысленности в терминах, используемых в двух принципах.

Мы можем выделить еще один, пятый вариант, хотя Мартин его не рассматривает. Этот вариант состоит в том, чтобы считать, что и (S), и (T) неверны, как это делается по традиции, согласно которой истинными или ложными являются не предложений . Нельзя, например, сказать, что предложение «это белое» истинно само по себе, поскольку то, о чем говорится, может варьироваться от одного высказывания предложения к другому.После Второй мировой войны, из-за такого рода вещей, стало более обычным думать, что семантические понятия связаны не с предложениями и словами, а с тем, что означают такие предложения и слова (Kneale and Kneale 1962, p601f). В этом понимании речь идет не конкретно о предложении «это белое», а о том, что выражено этим предложением, то есть о сделанном им утверждении или предложении, которое может быть истинным. Но Томасон, следуя работе Монтегю, показал, что проблемы такого же рода могут возникать даже в этом случае.Мы можем создавать референциальные парадоксы, связанные с утверждениями и предложениями, которых, опять же, явно невозможно избежать (Thomason 1977, 1980, 1986). И проблемы не только ограничиваются семантикой истины и ложности, но также возникают точно так же с более общими семантическими понятиями, такими как знание, убеждение и доказуемость. В последние годы таким образом становится все более очевидным гораздо больший объем проблем, связанных с самоотнесением.

Ашер и Камп подводят итоги (Ашер и Камп 1989, стр. 87):

Томасон утверждает, что результаты Монтегю (1963) применимы не только к теориям, в которых концепты отношения, такие как знания и убеждения, рассматриваются как предикаты предложений, но также и к «репрезентативным» теориям отношений, которые анализируют эти концепции. как отношения или операции над (ментальными) представлениями.Такие репрезентативные трактовки отношений нашли многих сторонников; и это, вероятно, правда, что некоторые из их сторонников не были в достаточной степени осведомлены о ловушках самоотнесения даже после того, как они были так ясно разоблачены в Монтегю (1963) … Для таких беспечных репрезентационалистов Томасон (1980) является строгое предупреждение о препятствиях, с которыми столкнется точная разработка их предложений.

Томасон конкретно упоминает «Язык мысли» Фодора в своей работе; Сами Ашер и Камп показывают, что способы аргументации, подобные методам Томасона, могут использоваться даже для того, чтобы показать, что Интенсиональная семантика Монтегю имеет те же проблемы.Ашер и Камп продолжают объяснять общий метод, с помощью которого достигаются эти результаты (Asher and Kamp 1989, p87):

Аргумент Томасона, по крайней мере на первый взгляд, прост. Он рассуждает следующим образом: предположим, что определенное отношение, скажем, убеждение, рассматривается как свойство «пропозициональных» объектов — назовем их «репрезентациями» — которые построены из атомарных составляющих во многом так же, как и предложения. Затем, имея в своем распоряжении достаточное количество арифметических операций, мы можем связать число Гёделя с каждым таким объектом, и мы можем имитировать соответствующие структурные свойства и отношения между такими объектами с помощью явно определенных арифметических предикатов их чисел Гёделя.Эту геделизацию представлений можно затем использовать для получения противоречия способами, знакомыми по работам Геделя, Тарского и Монтегю.

Единственный луч надежды, который могут предложить Ашер и Камп, это (Asher and Kamp 1989, p94): «Только знакомые системы эпистемической и доксастической логики, в которых знания и убеждения рассматриваются как сентенциальные операторы и которые не рассматривают предложения как объекты референции и количественной оценки, по-видимому, надежно защищены от этой трудности ». Но посмотрите на них, например, Mackie 1973, p276f, хотя также Slater 1986.

Знаменитые теоремы Гёделя в этой области, конечно, связаны с понятием доказуемости, и они показывают, что если это понятие взять как предикат некоторых формул, то в любой стандартной формальной системе, которая имеет достаточно арифметики для обработки чисел Гёделя используются для идентификации формул в системе, могут быть построены определенные утверждения, которые являются истинными, но не могут быть доказаны в системе, если они непротиворечивы. Что также верно и даже доказуемо в такой системе, так это то, что, если она непротиворечива, то (а) некоторая конкретная формула самореференции не может быть доказана в системе, и (б) непротиворечивость системы не может быть доказана в система.Это означает, что непротиворечивость системы не может быть доказана в системе, если она не противоречит, и обычно считается, что соответствующие системы непротиворечивы. Но если они непротиворечивы, то этот результат показывает, что они неполны, то есть есть истины, которые они не могут доказать.

Парадоксальность теорем Гёделя состоит в том, что они, кажется, показывают, что есть вещи, которые мы можем доказать на естественном языке, который мы используем, чтобы говорить о формальных системах, но которые формальная система доказательства доказать не может.И этот факт вылился в очень широкую дискуссию о наших отличиях от механизмов и даже о превосходстве над ними (см., Например, Penrose 1989). Но если принять во внимание то, как многие спорили бы, например, о

этот приговор недоказуем,

, то наши человеческие способности могут показаться не слишком большими. Многие возразят:

Если это предложение доказуемо, то оно истинно, поскольку доказуемость влечет за собой истину; но это делает его недоказуемым, а это противоречие.Следовательно, это должно быть недоказуемым. Но этим методом мы, кажется, доказали, что это недоказуемо — еще одно противоречие!

Итак, если мы не сможем выбраться из этого тупика, а также из многих других, на которые мы смотрели, мы не будем казаться слишком умными. Или аргументы такого рода показывают, что выхода нет? Некоторые люди, конечно, могут захотеть последовать примеру Тарского и отказаться от «естественного языка» вопреки этим выводам. Ибо у Гёделя не было причин делать вывод на основании своих теорем, что формальные системы, которые он имел в виду, были несовместимы.Однако его формальные аргументы кардинально отличаются от только что приведенных, поскольку в его системах нет доказательства того, что «доказуемость» влечет за собой «истину». Несомненно, то, с чем мы имеем дело, — это настоящие парадоксы!

Невозможность выхода из тупика и неспособность многих великих умов выйти из него заставили некоторых теоретиков поверить в то, что выхода нет. Среди них выделяется Прист (сравните Прист, 1979), который считает, что теперь мы должны научиться признавать, что некоторые противоречия могут быть правдой, и соответствующим образом корректировать нашу логику.Это во многом соответствует ожиданиям, которые, как мы первоначально отметили, имел Куайн, что, возможно, «какой-то неявный и надежный образец рассуждения должен быть явным, и с этого момента его следует избегать или пересматривать». (Куайн, 1966, с. 7). Конкретный закон, в котором «паранепротиворечивые» логики в основном сомневаются, — это «ex невозможный quodlibet» , то есть «из невозможности следует что-либо», или

(p & ¬p) ⊢ q.

Считается, что если бы это традиционное правило было исключено из логики, то, по крайней мере, мы обнаружим любые истинные противоречия, например.грамм. все, что имеет форму «p & ¬p», которую мы выводим из некоторого парадокса самоотнесения, не будет иметь массовых последствий, которые в противном случае имели бы в традиционной логике. Противники парасогласованности могут сказать, что предпосылка этого правила не может возникнуть, поэтому его «взрывные» последствия никогда не возникнут. Но есть и более широкий философский вопрос: не приводит ли переход к другой логике только к изменению темы, оставляя без внимания исходные проблемы.Это зависит от того, как вы относитесь к «девиантной логике». Есть основания полагать, что девиантные логики не являются соперниками традиционной логики, а просто дополняют или расширяют ее (Haack, 1974, Pt 1, Ch2). Ведь если отбросить вышеупомянутое правило, то разве он не произвел просто новый вид отрицания? «P» и «¬p» все еще противоречат друг другу, если они каким-то образом могут быть правдой? И если «p» и «¬p» не противоречат друг другу, то что же противоречит «p», и не могли бы мы сформулировать предыдущие парадоксы в терминах этого? Похоже, мы просто отвернулись от настоящих трудностей.

5. Современный поворот

За последние несколько лет произошли события, которые показали, что прежний акцент на парадоксах, связанных с самореферентностью, в некоторой степени вводил в заблуждение. Было обнаружено семейство парадоксов с аналогичными уровнями неразрешимости, которые не являются рефлексивными в этом смысле.

Ранее упоминалось, что форму парадокса лжеца можно вывести в связи с парой утверждений

То, что говорит Платон, ложно,

То, что говорит Сократ, правда,

, когда Сократ говорит первое, а Платон — второе.Ибо, если то, что говорит Сократ, верно, то, согласно первому, то, что говорит Платон, ложно, но тогда, согласно второму, то, что говорит Сократ, ложно. С другой стороны, если то, что говорит Сократ, ложно, то, согласно первому, то, что говорит Платон, истинно, а затем, согласно второму, то, что говорит Сократ, истинно. Такой парадокс называется «цепочкой лжецов»; они могут быть любой длины; и с ними мы уже выходим из действительно строгой семьи «самореферентности», хотя, пройдя по цепочке то, что говорит Сократ, она в конечном итоге вернется, чтобы задуматься о себе.

Однако кажется, что если кто-то создает то, что можно было бы назвать «бесконечными цепями», тогда не существует даже этой ослабленной формы самореференции (хотя см. Beall, 2001). Ябло попросил нас рассмотреть бесконечную последовательность предложений, представительными из которых являются следующие (Ябло, 1993):

(S _i ) Для всех k> i, S _k неверно.

«Парадокс очереди» Соренсена похож на него, и его можно получить, заменив здесь «все» на «некоторые» и рассмотрев серию мыслей некоторых студентов в бесконечной очереди (Соренсен, 1998).Предположим, что в случае Ябло S _n верно для некоторого n. Тогда S _{n + 1} ложно, и все последующие утверждения; но последний факт делает S _{n + 1} истинным; приводя к противоречию. Следовательно, для no n истинно S _n . Но это означает, что S ₁ истинно, S ₂ истинно и т. Д .; на самом деле это означает, что каждое утверждение истинно, а это еще одно противоречие. В случае Соренсен, если какой-то ученик думает, что «некоторые из учеников позади меня сейчас думают неправду», то это не может быть ложью, поскольку тогда все ученики, стоящие за ней, думают правду — хотя это означает, что какой-то ученик позади нее говорит неправду. неправда, противоречие.Так что ни один ученик не думает неправду. Но если какой-то ученик, следовательно, думает правду, то какой-то ученик, стоящий за ним, думает неправду, что, как мы знаем, невозможно. На самом деле все предположения кажутся невозможными, и мы находимся в характерном тупике.

Гайфман разработал способ решения таких более сложных парадоксов типа лжецов, которые могут закончиться отрицанием того, что предложения в таких циклах, цепочках и бесконечных последовательностях имеют какое-либо значение истинности. Используя «GAP» для «признанной неспособности присвоить стандартное значение истинности», Гайфман формулирует то, что он называет «правилом замкнутого цикла» (Gaifman 1992, pp225, 230):

Если в ходе применения процедуры оценки образуется замкнутый неоцененный цикл и ни одному из его членов не может быть присвоено стандартное значение ни одним из правил, то всем его членам назначается GAP на одном шаге оценки.

Гольдштейн сформулировал сопоставимый процесс, который, по его мнению, в некоторых деталях улучшает Гайфмана и заканчивается тем, что определенные предложения маркируются как «FA», что означает, что в предложении была сделана «неудачная попытка» сделать утверждение (Goldstein 2000, p57). . Но главный вопрос таких подходов, как и прежде, заключается в том, как они справляются с «Усиленным лжецом». Конечно, с

Это предложение неверно или имеет пробел,

и

Это предложение содержит ложное утверждение или является FA.

6. Ссылки и дополнительная информация

• Ашер Н. и Камп Х. 1986, «Парадокс познающего и репрезентативные теории отношений», в Дж. Халперн (ред.) Теоретические аспекты рассуждений о знании , Сан-Матео, Калифорния, Морган Кауфманн.
• Ашер, Н. и Камп, Х. 1989, «Самостоятельная ссылка, установки и парадокс» в G. Chierchia, B.H. Парти и Р. Тернер (ред.) Свойства, типы и значение 1 .
• Билл, Дж. К., 2001, «Парадокс Ябло — некруглый?», Анализ 61.3.
• Копи I.M., 1973, Symbolic Logic 4-е изд. Макмиллан, Нью-Йорк.
• Гайфман, Х. 1992, «Указатели на истину», The Journal of Philosophy , 89, 223-61.
• Гольдштейн, Л. 2000, «Единое решение некоторых парадоксов», Proceedings of the Aristotelian Society , 100, pp53-74.
• Grattan-Guinness, I. (ed.) 1980, От исчисления к теории множеств , 1630-1910, Дакворт, Лондон.
• Haack, S. 1974, Deviant Logic , C.U.P., Кембридж.
• Хаак С. 1978, Философия логики , C.U.P., Кембридж.
• Халлетт М. 1984, Теория канторианских множеств и ограничение размера , Clarendon Press, Oxford.
• Киф, Р. 2001, Теории неопределенности , C.U.P. Кембридж.
• Книл, В. 1972, «Утверждения и истина в естественных языках», Mind , 81, стр. 225-243.
• Нил У. и Нил М. 1962, Развитие логики , Кларендон Пресс, Оксфорд.
• Лавин, С. 1994, Понимание бесконечности, издательство Гарвардского университета , Кембридж, Массачусетс.
• Linsky, L. 1967, Ссылаясь на , Routledge and Kegan Paul, London.
• Маки, Дж. Л. 1973, Истина, вероятность и парадокс , Кларендон Пресс, Оксфорд.
• Мартин Р.Л. (ред.) 1984, Недавние очерки правды и парадокса лжецов , Clarendon Press, Oxford.
• Мартин-Лёф, П. 1970, Заметки по конструктивной математике , Альмквист и Викселл, Стокгольм.
• Монтегю, Р. 1963, «Синтаксические трактовки модальности со следствиями о принципах отражения и конечной аксиоматизируемости», Acta Philosophica Fennica , 16, стр. 153-167.
• Оуэн, G.E.L. 1957-8, «Зенон и математики», Труды Аристотелевского общества , 58, 199-222.
• Парсонс, К. 1984, «Парадокс лжецов» в Р.Л. Мартине (ред.) Недавние эссе об истине и парадоксе лжецов , Clarendon Press, Оксфорд.
• Пенроуз Р.1989, Новый разум императора , O.U.P., Оксфорд.
• Священник, Г. 1979, «Логика парадокса», Journal of Philosophical Logic , 8, pp219-241.
• Священник, Г. 1994, «Структура парадоксов саморефлексии», Mind , 103, стр. 25-34.
• Quine, W.V.O. 1966, Пути парадокса , Рэндом Хаус, Нью-Йорк.
• Райл, Г. 1950-1, «Гетерологичность», Анализ , 11, стр. 61-69.
• Сейнсбери, М.1995, Paradoxes , 2-е изд., C.U.P. Кембридж.
• Лосось, W.C. (ред.) 1970, Парадоксы Зенона , Боббс-Меррилл, Индианаполис.
• Скотт, Т. 1966, Джон Буридан: Софизмы о значении и истине , Appleton-Century-Crofts, Нью-Йорк.
• Slater, B.H. 1986, «Prior’s Analytic», Analysis , 46, стр. 76-81.
• Соренсен Р. 1998, «Парадокс Ябло и родственные бесконечные лжецы», Mind , 107, 137-55.
• Суппес, П.1972, Теория аксиоматических множеств , Дувр, Нью-Йорк.
• Тарский А. 1956, Логика, семантика, метаматематика: документы с 1923 по 1938 год , пер. J.H. Woodger, O.U.P. Оксфорд.
• Томасон Р. 1977, «Косвенный дискурс не цитируется», Монист , 60, стр. 340-354.
• Томасон Р. 1980, «Заметка о синтаксических трактовках модальности», Synthese , 44, стр. 391-395
• Томасон Р. 1986, «Парадоксы и семантическое представление», в J.Халперн (ред.) Теоретические аспекты рассуждений о знаниях , Сан-Матео, Калифорния, Морган Кауфманн.
• Уильямсон, Т. 1994, Неясность , Лондон, Рутледж.
• Ябло С. 1993, «Парадокс без саморекламы», Анализ , 53, 251-52.

Более подробное обсуждение логических парадоксов можно найти в следующих статьях этой энциклопедии:

Информация об авторе

Барри Хартли Слейтер
Электронная почта: slaterbh @ cyllene.uwa.edu.au
Университет Западной Австралии
Австралия

Что такое парадокс? Определение и примеры для литературы и фильмов

Brain Teasers

Что означает парадокс?

Помимо попыток понять смысл парадоксов, мы исследуем некоторые известные парадоксы и парадоксальные утверждения. Мы также рассмотрим парадоксы в литературе и парадоксы времени в фильмах, включая причинные петли и парадокс дедушки.

Но сначала давайте начнем с определения парадокса.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАДОКСА

Что такое парадокс?

Парадокс — это утверждение, предложение или ситуация, которые кажутся нелогичными, абсурдными или противоречивыми, но которые при дальнейшем рассмотрении могут быть логичными или истинными — или, по крайней мере, содержать элемент истины. Парадоксы часто выражают иронию и несоответствие и пытаются примирить, казалось бы, противоположные идеи. Парадоксы выражают противоречивую, часто противоречивую природу человеческих дел и даже самого значения.

СПИСОК ПАРАДОКСОВ:

• Если я знаю одно, так это то, что я ничего не знаю.
• Это начало конца.
• В глубине души ты действительно неглубокий.
• Я навязчивый лжец.
• Вот правила: игнорировать все правила.
• В этот ресторан никто не ходит; слишком многолюдно.
• Не подходите к воде, пока не научитесь плавать.

Различение различий

Оксюморон против парадокса

Разница между оксюмороном и парадоксом состоит в том, что парадокс — это утверждение, серия утверждений или ситуация, а оксюморон — это просто два противоречащих друг другу соседних слова, например:

• Сладко-горький
• Оглушающая тишина
• Креветка Jumbo
• Открытый секрет
• Ходячие мертвецы

Примеры парадоксов

Выявление парадоксов

Цитаты парадоксов можно встретить повсюду в культуре — в повседневной речи; в учебниках философии; в кино, литературе и драме; даже в поп-песнях, которые часто содержат парадоксальные тексты как способ выразить противоречивые и противоречивые эмоции:

• «Вы можете проверить в любое время, когда захотите / Но вы никогда не можете уйти.”
  • Hotel California , авторство The Eagles.
• «Я был намного старше тогда / сейчас я моложе».
  • Мои предыдущие страницы , Боб Дилан.
• «Я действительно не против, что это начинает меня доходить».
  • Sam’s Town , by the Killers
• «Здравствуйте, это я, меня нет дома / Если вы хотите связаться со мной, оставьте меня в покое».
  • Изменение принесет вам пользу , Шерил Кроу

Один из самых простых и сбивающих с толку примеров парадокса — это нечто, называемое «парадоксом лжеца».«В парадоксе лжеца у нас есть простое предложение:« Это предложение ложно ».

Это один из самых известных парадоксов, частично потому, что он так кратко резюмирует природу парадоксов. Если утверждение верно, то оно верно. по определению ложно, тем самым делая его правдой — и все идет по кругу.

Парадокс Литературное определение

Что такое парадокс в литературе?

На протяжении тысячелетий писатели использовали парадокс. стихи, в том числе «Одиссея » (написанная в 8 веке до нашей эры), в которых Гомер создает парадокс для героя Одиссея, чтобы обмануть циклопа, который захватил Одиссея и его людей.

В плену Одиссей напоил циклопа и сказал ему, что его зовут Никто. Позже он нападает на циклопа, который кричит соседям, что «его никто не убивает». Конечно, никто не приходит к нему на помощь, потому что Никто ему не причиняет вреда — когда, конечно, кто-то причиняет ему боль, и это парадокс.

Обмануть циклопа в

Шекспир также выражает парадоксы в своих работах. Один известный пример можно найти в Гамлете , когда Гамлет говорит: «Я должен быть жестоким только для того, чтобы быть добрым», обсуждая свой план убийства своего дяди, короля Клавдия.Убийство, конечно, жестокое , как овдовевшая его мать Гертруда (она вышла замуж за Клавдия после смерти его отца).

Но Гамлет должен сделать это, чтобы быть добрым призраку своего мертвого отца, которого убил Клавдий. Он также верит, что сделает добро и своей матери, и королевству, отправив злодейского узурпатора.

Более свежий пример — «уловка-22» из одноименного романа. Catch-22 повествует о попытках Йоссариана, американского бомбардировщика, дислоцированного в Италии во время Второй мировой войны, выйти из опасных бомбардировок, заявив, что он сумасшедший, потому что люди с диагнозом сумасшедшие будут освобождены от службы.

Парадокс в том, что отказ от миссий рассматривается как разумный поступок, потому что только здравомыслящий человек может ощутить опасность; сумасшедший никогда не попросит. Таким образом, Йоссариан объявляется вменяемым и вынужден продолжать летать. Один из самых известных примеров парадокса в литературе, этот термин вошел в наш общий лексикон как сокращение от парадокса.

«Вот уловка, уловка-22».

Последний пример парадокса в литературе можно найти в книге Джорджа Оруэлла Animal Farm , в которой «Все животные равны, но некоторые более равны, чем другие» — это основной изречение общества животных Оруэлла. использует как аллегорию человеческого общества.

Этот парадокс призван пролить свет на лицемерие, присущее правящим системам, которые претендуют на эгалитаризм и возводят несправедливые иерархии. Ниже он представлен в трейлере мультфильма 1954 года.

Скотный двор • Парадокс и аллегория

И Хеллер, и Оруэлл создали парадоксы как способ выразить абсурдность войны и угнетения. Другие важные литературные приемы для передачи сложных идей, с которыми должен быть знаком каждый рассказчик, включают аллегорию, оксюморон и иронию.

Парадокс в кино

Рассмотрим парадокс в научной фантастике

Путешествие во времени — излюбленная предпосылка научной фантастики. В лучших научно-фантастических фильмах путешествия во времени часто используются как способ драматизировать временные или временные парадоксы и строить догадки о том, что могло бы случиться, если бы они разыгрались. Многие фильмы драматизируют временные парадоксы. Примеры включают в себя:

Фильмы обычно представляют два типа временных парадоксов в соответствии с физикой: парадоксы последовательности — или дедушкины — парадоксы; и причинные петли.Давайте рассмотрим эти парадоксальные примеры по очереди.

Значение парадокса

Парадокс дедушки

Представьте себе персонажа, путешествующего в прошлое, чтобы убить своего дедушку в молодости. Зачем ей это делать? Возможности сценариста безграничны. Может, ее дед оказался диктатором-геноцидом или изобретателем глэм-рока. Кто знает?

Дело в том, что если дедушка умер, то не существовало ни родителей путешественника во времени, ни самой путешественницы во времени.Если ее не было, значит, она не могла вернуться в прошлое с самого начала. И как это возможно, если она убила своего деда? Это видео предоставляет один из возможных способов примирить этот парадокс.

«Решение» парадокса дедушки

Возможно, ваш персонаж не хочет убивать своего дедушку, но в конечном итоге изменяет прошлое другим способом, что приводит к будущему, в котором ее больше нет. Как ваш персонаж вообще побывал бы в прошлом?

Назад в будущее (1985) инсценирует этот парадокс, когда ребенок 80-х Марти МакФлай возвращается в 1950-е и «врезается в своих родителей», изменяя траекторию их отношений и ставя под угрозу Марти, который теперь, возможно, никогда не родится. .В этой сцене Марти буквально начинает исчезать, поскольку кажется, что его родители никогда не станут парой.

Марти исчезает

Другой парадокс дедушки происходит в Терминатор (1984), когда Джон Коннор отправляет Кайла Риза в прошлое, чтобы спасти свою мать Сару от сети искусственного интеллекта, которая пытается уничтожить Джона с помощью убивает Сару еще до того, как он может появиться на свет.

Сара узнает о будущем

Знаменитый парадокс в Терминатор заключается в том, что Кайл становится отцом Джона, а затем умирает в прошлом.Но если он умрет в прошлом, как его отправят из будущего, чтобы спасти Сару и стать отцом Джона?

Спросите даже случайного киномана, что является парадоксом в фильме, и он, скорее всего, первым назовет этот. Давайте перейдем к так называемой причинной петле.

Парадокс предопределения

Объяснение причинной петли

Другой основной парадокс путешествия во времени в научной фантастике называется причинной петлей — он назван так потому, что путешествие во времени, в которое отправляется путешественник, является круговым.Он продолжает совершать одно и то же путешествие снова и снова, несмотря на попытки изменить прошлое: будущее событие вызывает прошлое событие, которое вызывает будущее событие, и так далее.

Причинную петлю иногда называют парадоксом предопределения, что означает, что будущему суждено оставаться неизменным в каждой точке петли. Как бы путешественник ни старался что-то изменить, судьба этого не допустит.

Пример парадокса предопределения можно найти, что неудивительно, в Predestination (2014), в котором путешественник во времени отправляется в прошлое правительственным агентством, чтобы остановить массового убийцу.

Во время фильма путешественник во времени обнаруживает, что он находится в причинной петле, и что в разных точках петли он одновременно и его собственная мать, и отец, а также массовый убийца, которого он пытается остановить.

Предопределение • Можем ли мы изменить будущее?

Осознав это, он пытается разорвать петлю и остановиться, но обнаруживает, что события разворачиваются с теми же результатами — они предопределены. В этом видео показана временная шкала Predestination , чтобы показать, как сценарий драматизирует парадокс.

Предопределение • Иллюстрированное объяснение временной шкалы

Видео очень четко объясняет причинную петлю в фильме; однако зритель, смотрящий фильм впервые, скорее всего, сочтет его менее ясным. Это хороший урок для сценаристов: парадоксы могут сбивать с толку, и их нужно тщательно описывать и объяснять.

Изучение иронии в повествовании

Истории, драматизирующие парадоксы предопределения, обычно пытаются передать иронию — возможно, идею о том, что чем больше вещи меняются, тем больше они остаются прежними.Ирония — один из важнейших элементов повествования, которым должен владеть каждый сценарист. Давайте начнем с исследования видов иронии и их использования.

Наверх Следующее: Типы иронии →

Парадокс — определение и примеры

Определение парадокса

Что такое парадокс? Вот быстрое и простое определение:

Парадокс — это фигура речи, которая, кажется, противоречит сама себе, но при дальнейшем рассмотрении содержит некоторую зерно истины или разума.Знаменитое заявление Оскара Уайльда о том, что «жизнь слишком важна, чтобы к ней относиться серьезно» — парадокс. Сначала это кажется противоречивым, потому что к важным вещам нужно относиться серьезно, но парадоксальное предположение Уайльда состоит в том, что чем важнее что-то, тем важнее , а не , чтобы относиться к этому серьезно.

Некоторые дополнительные ключевые детали о парадоксе:

• Люди часто используют слово парадокс просто, чтобы выразить свое удивление по поводу чего-то неожиданного или загадочного, но это неправильное употребление этого слова.
• При изучении логики парадоксы имеют несколько иное значение, чем то, которое мы рассматриваем в этой статье. Логические парадоксы — это утверждения, которые на самом деле – противоречат друг другу и поэтому неразрешимы.
• Слово «парадокс» происходит от греческого «парадокс», что означает «вопреки ожиданиям» или «странный».

Парадокс Произношение

Вот как произносится парадокс: par -uh-docks

Литературный парадокс в глубине