Социально-методический центр поддержки СО НКО Московской области

2. Duczek S., Gabbert U. The finite cell method for polygonal meshes: poly-FCM // Computational Mechanics. 2016. vol. 58. pp. 587–618.

3. Kraus M., Steinmann P. Finite element formulations for 3D convex polyhedra in nonlinear continuum mechanics // International Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics. 2012. vol. 19. pp. 121–134.

4. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование // Москва: Изд-во физ.-мат. лит. 2002. 472 с.

5. Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс // М.: Наука. 1973. 197 с.

6. Belyaev A. On Transfinite Barycentric Coordinates // Proc. Fourth Eurographics Symp. Geometry Processing (SGP ’06). 2006. pp. 89–99.

7. Полянский И.С. Барицентрические координаты Пуассона для многомерной аппроксимации скалярного потенциала внутри произвольной области (Часть 1) // Вестник СГТУ. 2015. № 1(78). С. 30–36.

8. Полянский И.С. Барицентрические координаты Пуассона для многомерной аппроксимации скалярного потенциала внутри произвольной области (Часть 2) // Вестник СГТУ. 2015. № 1(78). С. 36–42.

9. Wachspress E.L. A Rational Finite Element Basis // New York: Academic Press. 1975. 331 p.

10. Michael S. Floater Mean value coordinates // Computer Aided Geometric Design. 2003. vol. 1(20). pp. 19–27.

11. Lipman Ya., Kopf J., Cohen-Or D., Levin D. In A. Belyaev and M. Garland editors. GPU-assisted Positive Mean Value Coordinates for Mesh Deformations // Geometry Processing, Eurographics Symposium Proceedings. 2007. pp. 117–123.

12. Gordon W.J., Wixom J.A. Pseudo-harmonic interpolation on convex domains // SIAM J. Numer. Anal. 1974. vol 11. pp. 909–933.

13. Manson J., Li K., Schaefer S. Positive Gordon-Wixom Coordinates. Computer Aided Design. 2011. vol. 43. no. 11. pp. 1422–1426.

14. Hormann K., Sukumar N. Maximum Entropy Coordinates for Arbitrary Polytopes // Computer Graphics Forum. 2008. vol. 27. no. 5. pp. 1513–1520.

15. Manson J., Schaefe S. Moving Least Squares Coordinates // Proc. Symp. Geometry Processing. 2010. pp. 1517–1524.

16. Li X.Y., Hu S.M. Poisson Coordinates // IEEE Transactions on visualization and computer graphics. 2013. vol. 19. no. 2. pp. 344–352.

17. Chan R., Gotsman C. On pseudo-harmonic barycentric coordinates // Computer aided geometric design. 2016. vol. 44. pp. 15–35.

18. Thiery J.-M., Tierny J., Boubekeur T. Jacobians and Hessians of mean value coordinates for closed triangular meshes // The Visual Computer. 2013.

19. Langer T., Belyaev A., Seidel H.-P. Spherical barycentric coordinates // SGP 2006: Fourth Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium on Geometry Processing. 2006. pp. 81–88.

20. Gillette A., Rand A., Bajaj C. Error estimates for generalized barycentric interpolation // Adv. Comp. Math. 2012. vol 37. pp. 417–439.

21. Chan R., Gotsman C. Complex transfinite barycentric mappings with similarity kernels // Eurographics Symposium on Geometry Processing. 2016. vol. 35. no. 19.

22. Радыгин В.М., Полянский И.С. Модифицированный метод последовательных конформных отображений наперед заданных многоугольных областей // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2016. №1(39). С. 25–35.

23. Лаврентьев М.А. Конформное отображение с приложениями к некоторым вопросам механики. Москва: ОГИЗ. 1946. 159 с.

24. Ju T., Liepa P., Warren J. A general geometric construction of coordinates in a convex simplicial polytope // Computer Aided Geometric Design. 2007. vol. 3(24). pp. 161–178.

25. Floter M.S. Generalized barycentric coordinates and applications // Cambridge University Press. 2016. 50 p.

26. Floter M.S., Horman K., Kos G. A general construction of barycentric coordinates over convex polygons // Advances in Computational Mathematics. 2006. vol. 24. no. 1–4. pp. 311–331.

Формула усиления Мейсона — объяснение с примерами

Это метод, используемый для нахождения передаточной функции системы управления. По сути, формула, которая определяет передаточную функцию линейной системы с использованием графа потока сигналов, известна как Формула усиления Мейсона .

Это показывает его значение в определении отношения между вводом и выводом.

Введение

В предыдущей статье мы видели, как строится граф потока сигналов.Мы уже видели, что поток сигналов — это граф, обычно формируемый с помощью алгебраических уравнений, которые определяют систему, в которой переменные уравнений играют решающую роль.

Ранее мы обсуждали, что S J Mason представил идею графа потока сигналов, чтобы упростить анализ системы. Кроме того, формула для нахождения передаточной функции SFG была сформулирована Мэйсоном. Таким образом, он назван так.

В технике редукции блок-диаграммы мы видели, что для упрощения системы с целью анализа мы должны правильно применять некоторые правила редукции.А после упрощения системы определяется ее общая передаточная функция C (s) / R (s) .

Это означает, что для упрощения системы после применения каждого правила сокращенная блок-схема должна формироваться после каждого шага. Это делает упрощение трудоемким.

Итак, для решения проблем, связанных с сокращением блок-схемы, принят и используется граф потока сигналов.

В SFG после построения графика передаточная функция может быть легко определена по формуле усиления Мэйсона.

Формула прироста Мэйсона

Для определения передаточной функции системы с помощью графика потока сигналов используется приведенная ниже формула.

Здесь каждый термин имеет свое значение, так как эти значения меняются в зависимости от графика потока сигналов.

K обозначает количество прямых путей,

T _K показывает усиление k ^th прямого пути ,

Δ — определитель системы, рассчитываемый как:

Δ = 1 — (сумма коэффициентов усиления всех отдельных петель в SFG) + (сумма произведения коэффициентов усиления всех пар двух неконтактных петель в SFG) + (сумма произведения всех пар из трех бесконтактные петли в SFG) + ——

Δ _K обозначает Δ для области SFG, которая не касается прямого пути K ^th .

Мы увидим применение формулы усиления Мэйсона на графике потока сигналов на некоторых примерах, но сначала давайте разберемся с различными терминами, связанными с формулой усиления Мэйсона.

Итак, в основном, обращая внимание на приведенную выше формулу, мы получаем идею, что сначала необходимо вычислить общее число прямых путей на графике, поскольку это будет играть решающую роль в определении общего выигрыша между входом и выходом системы.

Кроме того, все число контуров в SFG должны быть записаны с их соответствующим усилением, поскольку требуется их суммирование.Кроме того, необходимо суммировать усиления каждого контура в SFG, но только те, у которых есть два контура без касания .

Аналогичным образом необходимо суммировать комбинацию выигрышей с тремя не касающимися петлями. Это продолжается до тех пор, пока SFG не будет содержать еще большее количество петель без касания.

После того, как все это определено, путем подстановки соответствующих коэффициентов усиления в вышеописанную формулу определяется общий коэффициент усиления графа потока сигналов и, таким образом, система.

Давайте теперь посмотрим на несколько примеров.

Примеры формулы прибыли Мэйсона

В предыдущей статье мы уже описывали способ построения графа потока сигналов.

Итак, теперь представьте, что у нас есть график прохождения сигнала, показанный ниже, и мы должны определить его соответствующее усиление.

Здесь мы применим формулу усиления Мейсона, но сначала определим каждый компонент формулы шаг за шагом.

Здесь всего два прямых пути.

T ₁ = G ₁ G ₂ G ₃ G ₄ G ₅

T ₂ = G ₁ G ₂ G ₆

Кроме того, приведенный выше график потока сигналов содержит 2 отдельных контура обратной связи

L ₁ = — G ₁ H ₁

L ₂ = — G ₄ H ₂

Эти две петли SFG также являются двумя не касающимися петлями.

Следовательно, подставляя значения в формулу для вычисления Δ, получим,

Δ = 1 — (L ₁ + L ₂ ) + (L ₁ L ₂ )

Δ = 1 — (- G ₁ H ₁ — G ₄ H ₂ ) + [(- G ₁ H ₁ ) (- G ₄ H ₂ ) ]

Итак,

Δ = 1 + G ₁ H ₁ + G ₄ H ₂ + [(G ₁ G ₄ H ₁ H ₂ )]

Далее, теперь вычислим ΔK

Итак,

Δ ₁ = 1 — (петли, которые не касаются первого прямого пути)

А здесь нет такой петли, которая не касалась бы первого прямого пути, следовательно,

Δ ₁ = 1 — (0)

Δ ₁ = 1

Сейчас,

Δ ₂ = 1 — (петли не касаются второго прямого пути)

А здесь L ₂ не касается второго прямого пути, следовательно,

Δ ₂ = 1 — (L ₂ )

Δ ₂ = 1 — (- G ₄ H ₂ )

Об упрощении

Δ ₂ = 1 + G ₄ H ₂

Итак, теперь подставляем значения в формулу усиления каменщика:

Это усиление системы с указанным выше SFG.

Рассмотрим SFG, показанный ниже:

Здесь у нас только один прямой путь.

Таким образом, K = 1

Итак,

T ₁ = G ₁ G ₂ G ₃ G ₄ G ₅

Четыре отдельных контура обратной связи на показанном выше графике потока сигналов:

L ₁ = — G ₁ H ₁

L ₂ = — G ₂ H ₂

L ₃ = — G ₄ H ₃

L ₄ = — G ₄ G ₅ H ₄

Различные комбинации 2-х бесконтактных петель SFG:

L ₁ L ₃ = (- G ₁ H ₁ ) (- G ₄ H ₃ ) = G ₁ H ₁ G ₄ H ₃

L ₁ L ₄ = (-G ₁ H ₁ ) (- G ₄ G ₅ H ₄ ) = G ₁ H ₁ G ₄ G ₅ H ₄

L ₂ L ₃ = (-G ₂ H ₂ ) (- G ₄ H ₃ ) = G ₂ H ₂ G ₄ H ₃

L ₂ L ₄ = (-G ₂ H ₂ ) (- G ₄ G ₅ H ₄ ) = G ₂ H ₂ G ₄ G ₅ H ₄

В этом SFG нет 3-х не касающихся петель, поэтому мы остановимся прямо здесь.

Итак, Δ будет иметь вид:

Δ = 1 — (-G ₁ H ₁ — G ₂ H ₂ — G ₄ H ₃ — G ₄ G ₅ H ₄ ) + [ (G ₁ H ₁ G ₄ H ₃ ) + (G ₁ H ₁ G ₄ G ₅ H ₄ ) + (G ₂ H ₂ G ₄ H ₃ ) + (G ₂ H ₂ G ₄ G ₅ H ₄ )]

Итак, у нас будет,

Δ = 1 + G ₁ H ₁ + G ₂ H ₂ + G ₄ H ₃ + G ₄ G ₅ H ₄ + G ₁ H ₁ G ₄ H ₃ + G ₁ H ₁ G ₄ G ₅ H ₄ + G ₂ H ₂ G ₄ H ₃ + G ₂ H ₂ G ₄ G ₅ H ₄

Теперь, когда у нас есть единственный прямой путь,

Следовательно, Δ ₁ = 1 — (0)

Это так, потому что у нас нет таких петель, которые не касались бы первого прямого пути.

Итак, Δ ₁ = 1

Следовательно, передаточная функция приведенного выше графика потока сигналов будет:

Подставив значения, получим,

Это передаточная функция системы с приведенным выше графиком прохождения сигналов.

Таким образом, можно определить входные отношения сложной системы с использованием графа потока сигналов.

Mason Gain Formula

Связь между входной переменной и выходной переменной графа потока сигналов задается формулой усиления Мейсона.

Для определения всей системы коэффициент усиления равен:

Где,

P _k = усиление прямого пути для прямого пути K ^th .

∆ = 1 — [Сумма коэффициентов усиления всех отдельных петель] + [Сумма произведений коэффициентов усиления всех возможных из двух неконтролируемых петель] + [Сумма произведений коэффициентов усиления всех возможных трех бесконтактных петель] + .. …..

∆ _k = Значение ∆ для пути графа — это часть графа, которая не касается прямого пути K ^th .

Прямой путь

Из приведенного выше SFG есть два прямых пути с их усилением пути как —

Петля

В приведенном выше SFG есть 5 отдельных петель с их усилением петли как —

Петли без прикосновения

Существуют две возможные комбинации бесконтактной петли с произведением коэффициента усиления петли как —

В приведенном выше SFG нет комбинаций трех петель без касания, 4 петель без касания и так далее.

Где,

Пример

Нарисуйте схему прохождения сигнала и определите C / R для блок-схемы, показанной на рисунке.

График прохождения сигнала на приведенной выше диаграмме показан ниже

Коэффициент усиления прямых путей

P _{1 = G 1 G 2 G 3 ∆ 1 = 1}

P ₂ = -G ₁ G ₄ ∆ ₂ = 1

Отдельные петли

L ₁ = — G ₁ G ₂ H ₁

L ₂ = -G ₂ G ₃ H ₂

L ₃ = -G ₁ G ₂ G ₃

L ₄ = G ₁ G ₄

L ₅ = G ₄ H ₂

Бесконтактные петли = 0

Использование правила Мейсона для анализа сетей DSP

Были времена, когда я хотел определить передаточную функцию в z-области некоторой дискретной сети, но мои навыки алгебры меня не подводили.Некоторое время назад я узнал Правило Мейсона, которое помогло мне решить мои проблемы. Если вы хотите изучить шаги по использованию правила Мейсона, в его силах — правая рука Джорджа Формана в решении задач сетевого анализа.

В этом блоге обсуждается ценный метод анализа (хорошо известный нашим собратьям по разработке аналоговых систем управления) для получения уравнений передаточной функции в z-области сетей цифровой обработки сигналов (DSP). Этот метод, называемый «правилом Мейсона» (иногда называемым «формулой усиления Мейсона»), был разработан Сэмюэлем Мейсоном в начале 1950-х годов для анализа взаимосвязанных аналоговых систем [1-3].Здесь мы описываем правило Мейсона и представляем несколько примеров, показывающих полезность этого метода сетевого анализа.

Правило Мейсона позволяет нам определить передаточную функцию H (z) = Y (z) / X (z) сложных сетей, таких как сеть с несколькими петлями обратной связи на Рисунке 1.

Рисунок 1 : Дискретная сеть с несколькими контурами обратной связи.

Правило Мейсона также особенно полезно для получения передаточной функции в z-области, скажем, дискретной сети, которая имеет внутренние петли обратной связи, встроенные во внешние петли обратной связи (вложенные петли).Вот хорошие новости: если мы сможем нарисовать блок-схему некоторой дискретной сети, то применение правила Мейсона даст нам z-домен этой сети H (z) . Как только у нас будет H (z) , мы сможем использовать все алгебраические и программные инструменты в нашей команде для определения поведения и стабильности сети в частотной области. Здесь мы описываем правило Мейсона, сопровождаемое несколькими примерами, в надежде, что этот надежный метод анализа будет полезен читателям в их будущих усилиях по анализу сети DSP.

Для наших целей Правило Мейсона — это метод получения функции передачи z-области дискретной сети путем определения различных прямых путей от входного узла к выходному узлу дискретной сети, а также различных путей обратной связи, которые могут или не могут, разделяют общие сигнальные узлы с этими путями прямой связи. Это звучит загадочно, но на самом деле это не так уж сложно. Давайте определимся с терминологией нашего правила Мейсона, а затем продемонстрируем эту технику анализа на примерах.

И.Несколько определений

Правило Мэйсона основано на преобразовании блок-схемы сети в схему потока сигналов, подобную показанной на рисунке 2, и идентификации критических путей сигнала , и петель , .

Рисунок 2 : Пример схемы потока сигналов.

На примере рисунка 2 мы устанавливаем следующие определения:

• Символ усиления представляет собой стрелку со связанной с ней функцией z-области (обозначенной заглавной буквой), такой как задержка выборки (z ^-1 ) или постоянный множитель.Направление стрелки показывает направление потока сигнала.
• Сигнальный узел — это единственная точка на блок-схеме. На рисунке 2 сигнальные узлы обозначены строчной буквой курсивом.
• Путь , — это последовательность ветвей потока сигналов от одного узла к другому.
• Прямой путь — это путь, который проходит от входа x (n) к выходу y (n) , не проходя через один и тот же узел дважды.На рисунке 2 путь от узла a к узлу g , [ a, b, c, d, e, f, g ] является прямым путем. Преимущество этого прямого пути — продукт ACDFGI.
• Цикл — это путь, который начинается и заканчивается в одном и том же узле, при этом ни один узел не встречается более одного раза. То есть петля — это путь обратной связи. На рисунке 2 путь от узла b к узлу c и обратно к узлу b представляет собой петлю. Схема потока сигналов, конечно, может иметь несколько прямых путей и несколько петель.
• Петли без соприкосновения — это две петли, которые не имеют общего сигнального узла. На рис. 2 петли [ b, c, b ] и [ d, e, d ], например, являются бесконтактными петлями. Петли [ b, c, b ] и [ b, c, d, e, f, g, b ] соприкасаются петлями, потому что они совместно используют сигнальные узлы b и c .
• Коэффициент усиления контура контура является произведением всех символов усиления ветви в контуре. На рисунке 2 коэффициент усиления контура [ d, e, d ] является произведением FE.Коэффициент усиления контура [ b, c, d, e, f, g, b ] — это произведение CDFGIJ.

Установив эти простые определения (здесь начинается захватывающая часть), мы определяем определитель Δ (z) диаграммы потока сигналов как:

Δ (z) = 1 — сумма всех коэффициентов усиления контура
+ сумма произведений коэффициентов усиления контура без прикосновения, взятых по два за раз
— сумма произведений усилений контура без прикосновения, взятых по трем за раз
+ … . (1)

«Коэффициенты усиления контура без прикосновения, взятые по два за раз» — это комбинации пар коэффициентов усиления контура.Пары коэффициентов усиления контура без соприкосновения на рисунке 2 представляют собой комбинации коэффициентов усиления контура: CB, FE; CB, IH; и FE, IH. «Усиления контура без прикосновения, взятые по три за раз» — это комбинации троек усилений контура. Единственная тройка коэффициентов усиления контура без прикосновения на рисунке 2 — это комбинация коэффициентов усиления контура: CB, FE, IH.

Определитель Δ (z) для диаграммы на рисунке 2 равен

Δ (z) = 1 — (CB + FE + IH + CDFGIJ)
+ (CBFE + CBIH + FEIH) — CBFEIH. (2)

Для каждого прямого пути на схеме потока сигналов есть связанный определитель, представленный Δ _i (z).Если диаграмма имеет P = 3 прямых пути (обозначенных как пути P ₁ (z) , P ₂ (z) и P ₃ (z) ), то будет определитель Δ ₁ (z), Δ ₂ (z) и Δ ₃ (z). Подстрочная переменная i — это просто индекс, идентифицирующий отдельные прямые пути и связанные с ними детерминанты. Определитель Δ _i (z) — это определитель диаграммы потока сигналов, который не касается прямого пути i .Чтобы определить Δ ₁ (z), например, мы удалим прямой путь P ₁ (z) на диаграмме потока сигналов (и любые ветви, которые касаются P ₁ (z ) прямой путь) и используйте приведенное выше уравнение. (1) для любых оставшихся путей прохождения сигнала. Если петли не остаются после удаления прямого пути P ₁ (z) , то Δ ₁ (z) = 1.

Напомним, что схема потока сигналов имеет определитель Δ (z), и каждый прямой путь P _i (z) имеет коэффициент усиления, а также собственное значение Δ _i (z) (z ) определитель.Все детерминанты определяются формулой. (1) после определения петель диаграммы. С учетом всего сказанного, теперь мы можем (наконец) определить Правило Мейсона.

II. Правило Мейсона, как его использовать

Правило Мейсона гласит, что передаточная функция линейной сети H (z) = Y (z) / X (z) равна:

, где P — количество прямых путей в сети. Чтобы определить передаточную функцию дискретной сети, мы реализуем правило Мейсона в виде следующей последовательности шагов:

Шаг 1: Преобразуйте блок-схему сети с дискретным временем в схему потока сигналов; замену умножителей и функциональных блоков символами направленного усиления и замену узлов разветвления и сумматоров на сигнальные узлы.Знак минус, связанный с вычитанием, представлен символом усиления –1.

Шаг 2: Определите количество, P , прямых трактов и их отдельных P ₅ (z) усиления тракта.

Шаг 3: Определите общее количество петель и их индивидуальные коэффициенты усиления петель, а также количество пар петель без прикосновения и троек петель без прикосновения.

Шаг 4: Удалите каждый из прямых путей P диаграммы (вместе с любыми ветвями, касающимися этих прямых путей) по очереди и определите индивидуальные детерминанты Δ _i (z).

Шаг 5: Определите общий детерминант Δ (z) исходной сети, используя уравнение. (1).

Шаг 6: Примените коэффициенты усиления P ₅ (z) и детерминанты Δ _i (z) и Δ (z) к уравнению. (3) найти желаемую передаточную функцию H (z) .

Шаг 7: Последний шаг — сесть и насладиться хорошо выполненной работой.

III. Некоторое поощрение

Если вы все еще со мной, не беспокойтесь, если приведенные выше определения и шаги покажутся бессмысленными.Могу вас заверить, что это не так. На мои деньги Правило Мейсона — самый мощный инструмент сетевого анализа в нашем распоряжении, и теперь я пытаюсь доказать это на примерах. Не трогай этот циферблат.

IV. Примеры правила Мейсона

Опять же, процедура правила масона кажется немного сложной, но мы можем показать, насколько простой процесс на самом деле. Ниже приведены несколько примеров различной степени сложности, иллюстрирующих выполнение и полезность правила Мейсона при анализе дискретных сетей.

Пример-1

Нашим первым примером правила Мейсона будет определение передаточной функции H (z) нашего старого друга, биквадратного фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), показанного на рисунке 3 (а).

Рисунок 3: Biquad IIR-фильтр: (a) схема дискретной сети;
(b) схема прохождения сигнала; (c) прямые пути показаны жирными линиями; (d) диаграмма потока сигналов с удаленным прямым трактом P ₁ .

Начиная с схемы дискретной сети на рисунке 3 (a), мы рисуем диаграмму потока сигналов, показанную на рисунке 3 (b).Изучение этой блок-схемы показывает, что существует три прямых пути, P = 3 (показаны жирными линиями на рисунке 3 (c)) и два контура. Таким образом, три коэффициента усиления прямого пути и два коэффициента усиления контура равны:

P ₁ (z) = b ₀ , P ₂ (z) = b ₁ z ^-1 , P ₃ (z) = z ^-1 z ^-1 b ₂ = b ₂ z ^-2 ,
Петля ₁ усиление = a ₁ z ^-1 , и Loop ₂ усиление = z ^-1 z ^-1 a ₂ = a ₂ z ^-2 .

Реализация Шага 4, когда прямой путь P ₁ (z) удаляется вместе с любыми ветвями, касающимися P ₁ (z) , оставшиеся пути показаны на рисунке 3 (d) , и эти пути определяют прямой путь P ₁ (z) определитель Δ ₁ (z). На рисунке 3 (d) мы не видим оставшихся петель, поэтому Δ ₁ (z) = 1. Точно так же, когда прямые пути P ₂ (z) и P ₃ (z) удаляются вместе с любыми путями, касающимися P ₂ (z) и P ₃ (z) , петель не остается, поэтому наши детерминанты удаленного пути:

Δ ₁ (z) = Δ ₂ (z) = Δ ₃ (z) = 1.

Понимая, что в нашей исходной схеме потока сигналов нет незатронутых петель, теперь мы используем уравнение. (1) определить первичный детерминант сети Δ (z) как:

Δ (z) = 1 — (усиление контура ₁ + усиление контура ₂ ) = 1 — ( a ₁ z ^-1 + a ₂ z ^{— 2} ).

У нас есть вся информация, необходимая для использования уравнения. (3) чтобы получить передаточную функцию сети как

Наш результат Hbiquad (z) — это хорошо известная передаточная функция БИХ-фильтра 2-го порядка.Затем давайте проанализируем дискретную сеть с вложенными циклами, как показано в следующем примере.

Пример-2

В этом примере правило Мейсона применяется к сети удаления смещения постоянного тока, содержащей вложенные петли. Начиная с сети на рисунке 4 (a), мы преобразуем ее в схему потока сигналов на рисунке 4 (b). Обратите внимание, как вычитание на рис. 4 (а) заменено символом усиления минус один на диаграмме потока сигналов.

Рисунок 4: Удаление смещения постоянного тока : (а) схема дискретной сети;
(b) схема прохождения сигнала; (c) диаграмма потока сигналов с удаленным прямым трактом P ₁ .

Изучение этой блок-схемы показывает, что существует один прямой путь ( P = 1) и два контура. Таким образом, усиление одиночного прямого пути и усиление двух контуров составляют:

P ₁ (z) = 1,
Петля ₁ усиление = (1 – α) z ^-1 (–1) = — (1 – α) z ^{— 1} = α z ^-1 — z ^-1
Петля ₂ усиление = z ^-1 .

Когда прямой путь P ₁ (z) удален, оставшиеся пути показаны на рисунке 4 (c). Здесь мы видим один оставшийся цикл, поэтому определитель, связанный с прямым путем P ₁ (z) , равен:

Δ ₁ (z) = 1– z ^-1 .

Поскольку в нашей исходной схеме потока сигналов нет контуров без прикосновения, используя уравнение. (1) чтобы определить первичный определитель Δ (z) сети, мы утверждаем:

Δ (z) = 1 — (Loop ₁ усиление + Loop ₂ усиление)
= 1 — [α z ^-1 — z ^-1 + z ^-1 ] = 1 –α z ^-1 .

Учитывая то, что мы знаем до сих пор, мы используем уравнение. (3) чтобы получить передаточную функцию сети как

Далее я представляю последний пример правила Мейсона, который воплощает в жизнь все концепции, которые мы рассмотрели до сих пор.

Пример-3

Давайте проанализируем эту сложную сеть на рисунке 1, сначала преобразовав ее в диаграмму потока сигналов на рисунке 5 (a).

Рисунок 5: Диаграммы прохождения сигналов для Рисунка 1: (a) полная диаграмма потока сигналов
; (b) блок-схема прохождения сигнала с удаленным прямым трактом P ₁ ;
(c) схема прохождения сигнала с прямым трактом P ₂ удалена.

При первом взгляде на блок-схему на Рисунке 5 (a) мы можем предположить, что эта сеть имеет два прямых пути и две петли. Осторожно! На самом деле сеть имеет четыре прямых пути, три петли и пару бесконтактных петель. (Тщательная проверка необходима при оценке диаграммы потока сигналов при подготовке к применению правила Мейсона. Иными словами, использование правила Мейсона похоже на прикрепление тканевого подгузника к ребенку — процесс требует осторожности, поскольку небольшая ошибка может вызвать большие проблемы.)

Изучение блок-схемы на Рисунке 5 (a) показывает, что у нас есть P = 4 прямых пути и три контура.Коэффициенты усиления прямого пути (узлы пути указаны в скобках) и коэффициенты усиления контура:

P ₁ (z) = 8 z ^-1 , [ a, b, c, d ]
P ₂ (z) = 15 z ^-1 , [ a, f, e, d ]
P ₃ (z) = 30 z ^-2 , [ a, b, c, f, e, d ]
P ₄ (z) = 24 z ^-2 .[ a, f, e, b, c, d ]
Петля ₁ усиление = z ^-1 /2, [ b, c, b ]
Петля ₂ усиление = z ^-1 /3, [ f, e, f ]
Петля ₃ усиление = 6 z ^-2 . [ b, c, f, e, b ]

Когда прямой путь P ₁ (z) удален, оставшиеся пути показаны на рисунке 5 (b) с одним оставшимся контуром, так что Δ ₁ (z) = 1– z ^-1 /3.Точно так же, когда прямой путь P ₂ (z) удаляется, оставшиеся пути показаны на рисунке 5 (c) с одним оставшимся контуром, таким образом Δ ₂ (z) = 1– z ^-1 /2. Теперь, когда прямые пути P ₃ (z) и P ₄ (z) удалены, у нас не осталось путей. Таким образом, наши детерминанты удаленного пути:

Δ ₁ (z) = 1– z ^-1 /3,
Δ ₂ (z) = 1– z ^-1 /2,
Δ ₃ (z) = 1,
Δ ₄ (z) = 1.

В этом примере есть два контура без соприкосновения, [b, c, b] и [f, e, f], поэтому сумма коэффициентов усиления контуров без соприкосновения продуктов, взятых по два за раз, составляет z ^-1 /2 раза z ^-1 /3 = z ^-2 /6. Итак, теперь мы используем формулу. (1) определить первичный детерминант сети Δ (z) как:

Δ (z) = 1 — (Loop ₁ усиление + Loop ₂ усиление + Loop ₃ усиление)
+ (произведение Loop ₁ усиление и Loop ₂ усиление)
= 1 — ( z ^-1 /2 + z ^-1 /3 + 6 z ^-2 ) + z ^-2 /6
= 1 — (5/6) z ^-1 — (35/6) z ^-2 .

Используя уравнение. (3) для получения передаточной функции сети имеем

После рассмотрения этого последнего примера, Шаг 7 в конце Раздела II заслуживает внимания.

V. Код MATLAB

Для тех читателей, которые имеют доступ к программному обеспечению MATLAB, существует функция MATLAB правила Мейсона, написанная Робом Уолтоном, доступная по адресу: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/22. (Я попытался связаться с Робом, используя электронную почту и телефонные звонки в Канаду, чтобы поблагодарить его за работу с MATLAB.(-1)
9 5 6 (1/3)
10 1 6 3

Заключение

Правило Мейсона — это метод анализа аналоговой системы, сформулированный в начале 1950-х годов (примерно в то время, когда молодой водитель грузовика Элвис Пресли прибыл на сцену поп-музыки) Сэмюэлем Мейсоном. Здесь мы описали, как использовать правило Мейсона для помощи в современном анализе дискретных (DSP) сетей. Хотя правило Мейсона немного утомительно для сложных сетей, оно обеспечивает суперэффективный метод определения передаточной функции z-области даже в самых сложных дискретных сетях.К счастью, доступен общедоступный код MATLAB правила Мейсона.

Ссылки
[1] С. Мейсон, «Теория обратной связи: некоторые свойства графов потока сигналов», Proc. IRE, Vol. 41, стр. 1144-1156, сентябрь 1953.
[2] С. Мейсон, «Теория обратной связи: дополнительные свойства графов потоков сигналов», Proc. IRE, Vol. 44, pp. 1920-926, сентябрь 1956.
[3] С. Мейсон и Х. Циммерман, Электронные схемы, сигналы и системы, John Wiley & Sons, New York, 1960.

Вам также может понравиться… (продвигаемый контент)

Графики потока сигналов и формула усиления Мэйсона

Применение формулы усиления Мэйсона к графу потока сигналов, соответствующему данной подробной блок-схеме, несомненно, является самой простой рабочей процедурой для получения передаточная функция системы. График потока сигналов состоит из различных циклов и одного или нескольких путей, ведущих от входа к выходу. Узлы, представляющие системные переменные, связаны между собой ветвями.Некоторые важные определения и свойства, относящиеся к графу потоков сигналов, приведены ниже:

Узлы представляют системные переменные

Ветви — это однонаправленные пути, которые соединяют узлы.

Узел ввода имеет только исходящие ветви.

А узел вывода имеет только входящие ветви.

Путь — это непрерывное соединение ветвей со стрелками в тех же направлениях

Петля — это путь, который начинается и заканчивается на одном узле со всеми другими узлами в петле. коснулся только один раз.

Узел, который содержится в двух или более циклах.

Петли, не имеющие общих узлов.

Прямой путь начинается на входном узле, заканчивается на выходном узле и не касается ни одного узла более одного раза.

Усиление для трактов и шлейфов определяется как произведение усилений ветвлений для трактов или шлейфов.

Формула усиления Мейсона состоит из трех типов членов:

1. Мы идентифицируем все прямые пути и обозначаем коэффициенты усиления пути как P _k для k = 1,2,3,…
2. Мы формируем параметр ∆ который обозначает взаимодействия между различными петлями.

∆ = 1- (сумма выигрышей всех одиночных петель) + (сумма произведений приростов всех возможных комбинаций двух неконтролируемых петель) — (сумма произведений приростов всех возможных комбинаций трех неконтролируемых петель ) +….

3. Мы формируем параметр ∆ _k (для k = 1,2,3,…), который является кофактором прямого пути k _th , полученный из ∆ путем удаления петель, которые касаются этого пути.

Таким образом, формула усиления Мэйсона для общего прироста равна

$ T = \ frac {1} {\ Delta} \ sum \ limits_ {k = 1,2,3,…} {{{P} _ {k} } {{\ Delta} _ {k}}} $

1. Есть три прямых пути от R к C и три петли с коэффициентом усиления

$ {{P } _ {1}} = {{G} _ {1}} {{G} _ {2}}

долларов США {{P} _ {2}} = {{G} _ {3}}

$ {{P} _ {3}} = {{G} _ {4}}

$ {{L} _ {1}} = — {{G} _ {1}} {{H} _ {2}}

долларов США {{L} _ {2}} = — {{G} _ {2}} {{H} _ {1}}

долларов США {{L} _ {3}} = {{G} _ {3}} {{H} _ {1}} {{H} _ {2}} $

2. Все три контура соприкасаются, поэтому ∆ равно 1 минус сумма выигрышей цикла

$ \ Delta = 1 — (- {{G} _ {1}} {{H} _ {2}} — {{G} _ {2}} {{H} _ {1}} + {{G} _ {3}} {{H} _ {1}} {{H} _ {2}}) $

$ \ Delta = 1 + {{G} _ {1}} {{H} _ {2} } + {{G} _ {2}} {{H} _ {1}} — {{G} _ {3}} {{H} _ {1}} {{H} _ {2}}

3. Особый случай

Если все прямые пути и все петли касаются друг друга, i Можно видеть, что все кофакторы равны единице.

В этом примере прямые пути P ₁ и P ₂ касаются всех трех контуров, поэтому соответствующие сомножители ∆ ₁ и ∆ ₂ равны единице. Однако петля L ₁ не касается пути P ₃ , поэтому;

$ {{\ Delta} _ {3}} = 1 + {{G} _ {1}} {{H} _ {2}} $

Подставляя значения из всех трех вышеуказанных шагов в формулу усиления, получаем передаточная функция с обратной связью.

$ T = \ frac {{{P} _ {1}} {{\ Delta} _ {1}} + {{P} _ {2}} {{\ Delta} _ {2}} + {{ P} _ {3}} {{\ Delta} _ {3}}} {\ Delta} $

Итак,

$ T = \ frac {{{G} _ {1}} {{G} _ { 2}} + {{G} _ {3}} + {{G} _ {4}} (1 + {{G} _ {1}} {{H} _ {2}})} {1+ { {G} _ {1}} {{H} _ {2}} + {{G} _ {2}} {{H} _ {1}} — {{G} _ {3}} {{H} _ {1}} {{H} _ {2}}} $

Формула усиления Мэйсона предпочтительнее для определения передаточной функции либо непосредственно для простых систем, либо с использованием цифровых компьютеров для крупномасштабных систем, имеющих много контуров обратной связи и вперед пути.

График потока сигналов и формула усиления Мейсона

График прохождения сигнала (SFG)

График потока сигналов используется для графического представления системы управления и был разработан S.J. Мейсон.

График потока сигналов — это диаграмма, которая представляет собой набор одновременных линейных алгебраических уравнений. Используя преобразование Лапласа, дифференциальное уравнение во временной области, определяющее систему управления, может быть перенесено в набор алгебраических уравнений в s-области.График потока сигналов системы может быть построен с использованием этих уравнений.

Блок-схемы очень удобны для представления систем управления. Однако для сложных систем метод редукции блок-схемы для получения передаточной функции, связывающей входные и выходные переменные, утомителен и требует много времени. Альтернативный подход — это схема потока сигналов (SFG) , разработанная С. Дж. Мэйсоном. Граф потока сигналов не требует какого-либо процесса редукции из-за наличия формулы усиления потокового графа, которая связывает входные и выходные системные переменные.

Определение: A график потока сигналов — это графическое представление взаимосвязи между переменные системы линейных алгебраических уравнений. Он состоит из сети в какие узлы, представляющие каждую из системных переменных, соединены направленными ветви.

Прежде чем продолжить, необходимо понять значение следующих терминов.

Узел: Он представляет системную переменную, которая равна сумме всех входящих сигналов в узле.Исходящие сигналы от узла не влияют на значение переменной узла. На рисунке ниже показан график прохождения сигнала. Точки, обозначенные номерами R , E и C , являются узлами этого SFG.

Ветвь: Сигнал проходит по ветви от одного узла к другому в направлении, указанном стрелкой ветвления, и в процессе умножается на коэффициент усиления или пропускания. Например, сигнал, достигающий узла C от узла E, выдается GE, где G — коэффициент пропускания ветви, а ветвь направлена ​​от узла E к узлу C .

Входной узел или источник: Это узел только с исходящими ветвями; например, R на рисунке — входной узел.

Узел вывода или приемник: Это узел только с входящими ветвями. Однако это условие не всегда выполняется. Для выполнения указанного условия может быть введена дополнительная ветвь с единичным усилением; например, узел C на приведенном выше рисунке имеет одну исходящую ветвь. Однако после введения дополнительной ветви с единичным коэффициентом пропускания, как показано на рисунке ниже, узел становится выходным узлом.

Путь: It — обход соединенных ветвей в направлении стрелок ветвей таким образом, чтобы ни один узел не проходил более одного раза.

Прямой путь: Это путь от входного узла к выходному, когда ни один узел не встречается дважды. R — E — C — прямой путь.

Коэффициент усиления в прямом тракте: Это произведение коэффициентов усиления в прямом тракте; например, усиление прямого пути пути R — E — C на рисунке составляет G .

Цикл: Это путь, который начинается и заканчивается в одном и том же узле; например, E — C — B — E — это петля.

Коэффициент усиления контура: Это произведение коэффициентов усиления ветви, встречающихся при прохождении контура, например, усиление контура контура E -C-B-E на рисунке составляет — GH .

Без прикосновения Петли: Петли считаются не касающимися, если они не обладают любой общий узел.

Основные свойства графа потока сигналов следующие:

1. Алгебраические уравнения, которые используются для построения графа потока сигналов, должны иметь форму причинно-следственной связи.
2. График потока сигналов применим только к линейным системам.
3. Узел складывает сигналы всех входящих ветвей, а исходящие сигналы можно рассматривать как выходной узел, добавляя исходящую ветвь с единичной пропускной способностью.
4. Смешанный узел, который имеет как входящие, так и исходящие сигналы, можно рассматривать как выходной узел, добавляя исходящую ветвь с единичной пропускной способностью.
5. Ветвь указывает на функциональную зависимость одного сигнала от другого.
6. Сигнал проходит по ветвям только в отмеченном направлении, и когда он проходит, он умножается на коэффициент усиления или пропускания ветви.
7. График потока сигналов системы не уникален. Путем перестройки уравнения системы для данной системы могут быть построены различные типы графиков потоков сигналов.